3D刚体运动与坐标变换：从李群到SLAM应用

"这篇文档是关于计算机视觉中3D刚体运动表示和坐标变换的专题，主要涵盖了坐标系旋转、固定点坐标变换、李群李代数等概念，并结合了在视觉SLAM（Simultaneous Localization And Mapping）中的应用。作者通过一系列版本更新不断修正和完善了内容，确保理论的准确性。" 13D刚体运动的表示和坐标变换是计算机视觉领域中的核心概念。刚体的3D旋转涉及到如何描述和计算物体在三维空间中的转动。在2D旋转中，可以通过一个旋转角和右手定则来确定旋转方向和旋转矩阵R。3D旋转则更为复杂，通常用欧拉角或四元数来描述，其中欧拉角由三个旋转角度组成，而四元数提供了一种更简洁且无万向锁问题的表示方式。 1.2旋转作用下的固定点坐标变换涉及到当坐标系旋转时，坐标系中固定点的坐标如何变化。固定点在新的坐标系下的坐标可以通过旋转矩阵与原始坐标相乘得到。这种变换在机器人定位和图像处理中尤为重要。 1.3坐标系旋转与固定点坐标变换关系进一步阐述了坐标系旋转时，如何计算出坐标系内任意点的新坐标。旋转矩阵R描述了坐标系的变化，通过左乘或右乘可以得到新坐标，左乘适用于坐标到坐标系的变换，右乘则适用于坐标系到坐标的变化。 1.4刚体运动（平移+旋转）是3D空间中物体运动的完整描述，除了旋转外还包括平移。平移可以通过一个3D向量表示，与旋转矩阵结合可以形成SE(3)变换，这是描述3D刚体运动的标准方式。 23D运动李群表示引入了李群和李代数的概念，它们是描述连续变换群的数学工具。李群SO(3)和SE(3)分别表示3D旋转和旋转加平移的变换，而对应的李代数so(3)和se(3)则描述这些变换的微小变化。 2.5和2.6讲解了矩阵表示的转换关系，例如SO(3)和SO(3)李代数的关系，以及SE(3)和SE(3)李代数的关系，这对于理解旋转和平移的增量表示至关重要。 3李群的增量和导数表示讨论了如何用李代数来表示刚体运动的微小变化，以及如何计算这些变化对点坐标的影响。这在估计和优化运动模型时非常有用。 4李群在视觉SLAM中的应用部分介绍了如何利用这些理论解决实际问题，如重投影误差的导数计算、光束平差法以及通过最小化重投影误差来估计相似变换。此外，还涉及了光测量误差的最小化，这是优化相机参数和重建3D场景的关键步骤。 这篇文档深入浅出地解释了3D刚体运动和坐标变换的数学原理，并将其应用到实际的视觉SLAM算法中，对于理解和实现相关算法有着重要的指导价值。