ACM小组内部高精度计算与几何算法合集

"ACM小组内部预定函数" 在ACM竞赛编程中，经常需要编写特定的函数来解决各种问题。以下是一些关键知识点的详细说明： ### 数学问题 1. 大数阶乘：计算大数的阶乘，通常需要自定义大数运算库，以处理超过普通整数范围的数值。`factorial()`函数计算n的阶乘，并返回结果的位数。 2. 大数乘法：包括大数乘小数和大数乘大数，需要实现大数乘法算法，如Karatsuba或Toom–Cook算法，以提高效率。 3. 精度计算：涉及加法和减法，需要考虑浮点数精度丢失问题，可能用到高精度库或者自定义的高精度算法。 4. 进制转换：将数字从一种进制转换到另一种进制，如二进制、八进制、十进制、十六进制等。 5. 最大公约数与最小公倍数：计算两个数的最大公约数(GCD)和最小公倍数(LCM)，可以使用欧几里得算法或扩展欧几里得算法。 6. 组合序列：计算组合数C(n, k)，需要用到组合公式或者动态规划方法。 7. 快速傅立叶变换(FFT)：用于高效计算复数序列的离散傅立叶变换，应用于多项式乘法、信号处理等领域。 8. Ronberg算法：用于数值积分，通过迭代逼近来计算函数的定积分。 ### 字符串处理 1. 字符串替换：替换字符串中的特定子串。 2. 字符串查找：查找字符串中指定子串的位置。 3. 字符串截取：提取字符串的一部分。 ### 计算几何 1. 多边形面积：利用叉乘法计算任意多边形的面积。 2. 三角形面积：根据底和高或两边及夹角计算。 3. 两矢量间角度：使用内积公式计算向量之间的夹角。 4. 点到线段距离：计算点到线段的最短距离。 5. 点与多边形关系：射向法判断点是否在多边形内。 6. 线段与线段交点：判断两条线段是否相交并找出交点。 7. 凸包算法：Graham扫描法用于找到一组点的凸包。 ### 数论 1. 二进制长度：计算一个整数在二进制表示下的位数。 2. 二进制位提取：获取一个整数二进制表示的第i位。 3. 模幂运算：快速计算a的b次方模c的结果，如幂取模算法。 4. 模线性方程：求解形如ax ≡ b (mod m)的模线性方程。 5. 中国余数定理：解决模线性方程组的问题，用于找到满足多个模条件的解。 6. 素数筛选：通过筛法（如埃拉托斯特尼筛法）生成素数序列。 7. 素数判断：检查一个数是否为素数，如AKS测试或Miller-Rabin测试。 ### 图论 1. 最小生成树：Prim算法或Kruskal算法用于找到加权无环图的最小生成树。 2. 单源最短路径：Dijkstra算法适用于带非负权重的图，Bellman-Ford算法可用于有负权重的图。 3. 所有对最短路径：Floyd-Warshall算法计算图中所有节点对的最短路径。 ### 排序与查找 1. 快速排序：高效的分治排序算法，时间复杂度平均为O(n log n)。 2. 希尔排序：改进的插入排序，通过增量序列改善效率。 3. 选择法排序：简单但效率较低的排序算法，每次选择未排序部分的最小元素。 4. 二分查找：在有序数组中查找目标值，时间复杂度为O(log n)。 ### 数据结构 1. 顺序队列：基于数组实现的简单队列结构。 2. 顺序栈：同样基于数组，支持压栈和出栈操作。 3. 链表：包含指针的节点结构，便于插入和删除操作。 4. 链栈：链式存储的栈结构，灵活性优于顺序栈。 5. 二叉树：包含两个子节点的树结构，如二叉搜索树、AVL树、红黑树等。 这些函数是ACM竞赛中常见且重要的工具，熟练掌握它们能有效提升解决问题的能力。