谐波小波、Laplace小波与Hermitian小波：连续小波变换在工程应用中的解析

离散网格空间-小波变换课件详细讲解了小波分析中的一个重要概念——连续小波变换及其在工程应用中的几种关键方法。课程首先介绍了两种常见的实小波，即Daubechies类小波和样条小波，它们虽然实用，但缺乏明确的解析表达，信号分解依赖于滤波器系数和Mallat快速算法。 接下来，课程重点介绍了三种具有明确解析表达式的连续小波：谐波小波、Laplace小波和Hermitian小波。其中，谐波小波是由D.E. Newland教授提出的复小波，它在频域上是紧支的，具有“盒形”频谱特性，其分解过程利用快速傅里叶变换（FFT）和逆变换（IFFT），具有高效和高精度的特点，适用于多种信号处理任务，如小波分形技术、离散信号维数计算以及轴心轨迹阵列分析。 谐波小波的定义包括由实偶函数we(t)和实奇函数wo(t)组合而成的复小波，其正交性体现在对信号进行伸缩和平移操作后形成的函数族（j,kωZ）的频谱特性上。随着小波层数（j）的增加，谐波小波的频率范围会扩大一倍，但幅度相应下降。这一特性使得谐波小波在时频分析中展现出独特的性能。 Laplace小波则是另一种类型的连续小波基函数，它的主要特点是通过改变小波的衰减形状来实现信号处理。不同于谐波小波，Laplace小波提供了不同的信号滤波和特征提取手段，适用于针对不同信号特性的分析。 Hermitian连续小波变换则与信号的奇异性识别有关，通过Hermitian小波的特性，可以有效地捕捉信号中的奇异点或突变点，这对于信号处理中的异常检测和故障诊断非常有价值。 总结来说，本课程内容涵盖了连续小波变换的基础理论、特定小波的构建和工程应用，包括谐波小波的定义、分析方法以及在复杂信号处理中的实际应用，这对于理解现代信号处理技术的理论基础和实践技巧非常重要。