深度解析：支持向量机(SVM)与核技法

"这篇笔记详细介绍了支持向量机(SVM)的概念，包括核技法、软间隔分类器和序列最小优化(SMO)算法，以及SVM在解决非线性可分问题中的应用。" 支持向量机（SVM）是一种强大的监督学习模型，尤其在分类和回归任务中表现出色。它通过构建最大边距超平面来实现分类，这个超平面能够最大程度地将不同类别的数据点分开。在处理线性可分的数据时，SVM表现优秀，但在面对非线性数据时，就需要引入核技法。 核技法是SVM的关键组成部分，它允许我们将数据从原始低维度空间映射到高维度空间，使得原本在低维空间中难以线性分割的数据在高维空间中变得线性可分。例如，对于房价和面积的关系，可以通过定义映射函数ϕ，将二维数据映射到更高维度。映射后的数据内积可以通过核函数K(X, Z)来计算，而无需实际计算高维空间的向量，这极大地降低了计算复杂度。 常用的核函数包括多项式核、径向基函数(RBF)核和sigmoid核等。多项式核如K(X, Z) = (XTZ + c)^d，其中c和d是参数，可以将数据映射到一个高次多项式空间。RBF核，也称为高斯核，通常形式为K(X, Z) = exp(-γ ||X - Z||^2)，其中γ是调整带宽的参数，使得距离较近的点在高维空间中内积较大，从而实现非线性分类。 软间隔分类器是解决非线性可分问题的另一种策略。在硬间隔分类器中，所有训练样本必须被正确分类且位于超平面的安全距离之外。然而，现实中数据往往存在噪声或异常，这时软间隔分类器允许一部分样本不满足最大间隔条件，引入了松弛变量α，使得一部分样本可以“错误”分类，但会受到惩罚，从而提高了模型的泛化能力。 为了有效地求解SVM的优化问题，提出了序列最小优化(SMO)算法。SMO是求解SVM对偶问题的高效算法，它通过迭代选择一对α参数进行优化，每次更新时保持其他α参数不变，直到满足停止条件。SMO算法在实践中具有很好的性能，能快速找到全局最优解。 总结来说，SVM通过核技法和软间隔分类器成功解决了非线性可分问题，并利用SMO算法高效地求解优化问题，使其成为机器学习领域的一个重要工具。理解并熟练掌握这些概念和技术，对于解决复杂的分类和回归问题具有重要的意义。