专升本高等数学：函数、极限与连续性详解

"专升本高等数学第一章 函数 极限 连续" 在专升本高等数学的学习中，第一章主要涵盖了函数、极限和连续性的基础概念。这一章的学习至关重要，因为它构成了整个高等数学的基础。 首先，我们来讨论函数的概念。函数是一个数学对象，它描述了两个集合之间的一种特定关系，即对于集合A中的每一个元素x，通过一个对应法则，都能唯一确定集合B中的一个元素y。这种关系可以表示为f:A→B，其中f就是对应法则。求解函数的定义域，即找寻x的所有可能取值范围，是解决问题的关键。例如，如果函数为f(x) = 1/x，我们需要确保x不等于0，因此定义域是所有实数除了0。 接着，我们要了解如何求解抽象函数的定义域。在处理这类问题时，通常需要分析函数表达式的性质，如根的存在性、分母不能为零等，然后结合数轴法找到各条件的交集。 判断两个函数是否相同，关键在于比较它们的定义域和对应法则是否完全一致。如果两者都相同，那么这两个函数就是相同的。 反函数是一个重要的概念，它是原函数的逆操作。求解反函数，需要找到原函数关于y=x的对称图像上的点。通常，我们可以通过解方程来找到反函数，或者直接利用常见的反函数公式，例如求解函数f(x)=x^2的反函数就是开平方根，即f^(-1)(x)=√x。 基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。这些函数有着各自的特性，如图像、性质和公式。例如，幂函数f(x)=x^n的图像会随着n的变化而变化，当n为奇数时，函数是奇函数；当n为偶数时，函数是偶函数。对数函数如ln(x)具有单调性和导数公式。三角函数如sin(x)和cos(x)具有周期性和奇偶性。 复合函数是多个基本初等函数的组合，理解其结构有助于解决问题。例如，将复杂的函数表达式分解成基本函数的组合，可以简化计算。例如，函数f(g(x))可以通过从外向内逐步分解，直到找到包含x的那部分。 最后，函数的性质包括单调性（函数值随自变量增减而增减）、有界性（函数值的上限和下限）、周期性（函数值在固定间隔后重复出现）和奇偶性（函数关于原点或y轴对称）。这些性质可以帮助我们理解和分析函数的行为，进而解决更复杂的问题。 专升本高等数学第一章的核心内容围绕着函数的定义、求解定义域、判断函数的相等性、求解反函数、理解和运用基本初等函数以及掌握函数的性质。深入理解和熟练应用这些知识点，对于后续的高等数学学习至关重要。