非线性问题的有限元方法：抽象结果与 Navier-Stokes 方程

"这篇文章是1987年发表在《数学研究与展览》上的，作者是Wang Ming，主要探讨了一类非线性问题的有限元方法，特别是关于非奇异解分支、极限点和简单分岔点的收敛性。文章为Navier-Stokes方程和von Karman方程的共形元、非共形元和拟共形元方法奠定了理论基础。" 本文主要涉及的领域是数值分析，特别是有限元方法在非线性问题中的应用。有限元方法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛用于解决偏微分方程的数值方法，它将复杂的物理问题转化为简单的离散化问题来求解。在该论文中，作者Wang Ming关注的是一个特定的非线性问题类别。 首先，文章定义了问题的数学背景。设X是一个实Hilbert空间，带有内积(.,.)和相应的范数||.||；X'是X的子空间，而Xo是X中的闭子空间。考虑两个操作符A和G，其中A是从X到X的有界线性算子，而G是从X到X的非线性算子。这里，A对应于线性部分，G则代表非线性部分。定义了正交投影算子T从X到Xo，并设定F为A和G的组合，即F(u) = Au + G(u)，以及Fo为F在Xo上的投影。 接下来，作者考虑了以下方程的有限维近似： (0, u) ∈ /" ... 这个等式可能是某个非线性偏微分方程的变分形式，其中(.,.)可能表示某种能量或内积，而/"表示满足特定条件的函数对的集合。Wang Ming在一定的假设下证明了当解属于非奇异解分支、极限点或简单分岔点时，有限维近似的解是收敛的。这对于理解和数值求解这类非线性问题至关重要，因为实际问题往往包含非线性效应。 此外，文章还特别提到了Navier-Stokes方程和von Karman方程。Navier-Stokes方程是流体力学中的基本方程，描述了粘性流体的运动；而von Karman方程是固体力学中的非线性方程，用于研究大变形和大位移下的弹性结构。Wang Ming的工作为这些复杂方程的有限元解法提供了理论支持，这对于实际工程计算和科学模拟有着深远的意义。 这篇论文通过抽象结果为非线性问题的有限元方法提供了一个坚实的理论框架，特别是在处理非奇异解的分支、极限点和分岔点时的收敛性问题。这不仅有助于提升有限元方法的精确性和稳定性，也为后续的数值求解工作铺平了道路。