高数笔记：函数、极限与连续性解析

"dxatf_84d7bfe92b678aa399566f82dd92c4d8-2.pdf" 这是一份关于高等数学（高数）笔记的整理，涵盖了函数、极限和连续性的基本概念。笔记详细阐述了以下几个关键知识点： 1. 函数的概念： - 函数的基本定义是y=f(x)，其中x属于定义域D，y的集合称为值域Z(f)。 - 分段函数是指在一个定义域内，根据不同的x值有不同的解析表达式的函数。 - 隐函数是通过方程F(x, y) = 0来定义的，其中x和y的关系不是直接给出的。 - 反函数是原函数的逆运算，如果函数y=f(x)是单调的，那么存在反函数y=f^(-1)(x)，且保持单调性。 2. 函数的几何特性： - 函数的单调性：根据函数在给定区间上的值的变化来判断函数的单调性，分为单调增加、单调减少和严格单调增加、严格单调减少。 - 奇偶性：如果函数的定义域关于原点对称，那么函数可能是奇函数（f(-x)=-f(x)）或偶函数（f(-x)=f(x)）。 - 周期性：周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T是最小正周期。 - 有界性：函数在某个区间内的值不超过特定的最大值M，表明函数是有界的。 3. 基本初等函数： - 常数函数：y=c，其中c是常数。 - 幂函数：y=x^n，n是实数。 - 指数函数：y=a^x，a>0且a≠1。 - 对数函数：y=log_a(x)，a>0且a≠1。 - 三角函数：包括正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx。 - 反三角函数：如反正弦函数y=arcsinx，反余弦函数y=arcconx，反正切函数y=arctanx，反余切函数y=arccotx。 4. 复合函数和初等函数： - 复合函数是将一个函数的结果作为另一个函数的输入，如y=f(φ(x))。 - 初等函数是由基本初等函数通过有限次的加、减、乘、除以及复合运算构造出来的，可以用一个数学表达式表示。 5. 极限的概念： - 数列的极限：当n趋近于无穷大时，数列yn的极限为A，表示yn随着n增大趋于稳定于A。 - 定理：数列的极限存在意味着数列必有界。 - 函数的极限：当x趋近于某个值时，函数f(x)的极限描述了函数值趋于稳定的状态。 这些概念是高等数学的基础，对于理解微积分和其他更复杂的数学概念至关重要。掌握这些知识点有助于解决涉及函数性质、极限计算和连续性的问题。