Jacobi 迭代法与数值分析课程设计

"数值分析课程设计，包括迭代法求解方程的根的算法设计以及Jacobi、G-S、SOR方法解方程组的程序设计。采用C语言实现，注重理解迭代法原理和收敛性。" 在数值分析中，迭代法是一种求解方程根和线性方程组的重要方法。这个课程设计主要涵盖了以下几个核心知识点： 1. 迭代法求解方程的根：迭代法是一种通过不断逼近来寻找方程根的算法。实验要求在给定区间[1,1.2]内找到方程f(x) = 0的根，其中f(x)可以是不同的函数形式，如f(x) = n^4 + 2n^2 - 3、f(x) = (n+4)^(0.5) - 1的平方根或f(x) = (3+n - 2n^2)^(0.25)。在C程序中，用户可以选择不同形式的函数，并设置初始值、精确度和迭代次数。 2. Jacobi迭代法：用于解大型线性方程组Ax = b。该方法将系数矩阵A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L，然后通过迭代公式x(k+1) = D^(-1) * (b - U*x(k)) - L^(-1) * U*x(k)来求解。这里的x(k)表示第k次迭代得到的解向量。 3. Gauss-Seidel迭代法：与Jacobi迭代法类似，但每次迭代时会用到当前迭代步的最新值，即x(i)(k+1) = D^(-1) * (b - (U + L)*x(k)) - L^(-1) * U*x(i)(k)，其中x(i)(k)表示第k次迭代中第i个元素的值。 4. SOR（Successive Over-Relaxation）方法：是对Gauss-Seidel迭代法的改进，引入松弛因子ω。迭代公式变为x(i)(k+1) = (1-ω)*x(i)(k) + ω*D^(-1) * (b - (U + L)*x(k)) - ω*L^(-1) * U*x(i)(k)。通过调整ω，可以加快收敛速度。 5. 迭代法的收敛性：一个迭代法是否有效，关键在于其收敛性。如果存在一个固定的x*，使得随着迭代次数的增加，解向量x(k)无限接近x*，则称迭代法收敛；反之，如果x(k)不趋向于任何固定点，则称迭代法发散。收敛性的判断通常基于矩阵的谱半径或迭代矩阵的特性。 在实际编程中，还需要考虑如何判断迭代停止的条件，例如达到预设的精度阈值E或者达到最大迭代次数limite。此外，程序应具有良好的输入输出交互性，以便用户能够方便地输入参数和查看结果。