线性代数关键总结：行列式与矩阵特性

线性代数是数学的一个核心分支，涉及向量空间、线性变换、矩阵运算等概念。在备考或学习过程中，掌握一些关键知识点至关重要。以下是一些必记的线性代数结论： 1. 行列式是矩阵运算的基础，它代表了矩阵的秩和线性相关性的标志。一个n阶行列式由n个元素组成，展开后包含n!项，可以被分解为2n个元素的代数余子式。代数余子式的性质包括：与对应元素无关，某行（列）元素与其他元素相乘的余子式为0，以及与自身元素相乘的余子式等于行列式本身。 2. 行列式的变换规则表明，行列式具有一定的不变性。例如，行列式上、下翻转或左右翻转后其值互为相反数；顺时针或逆时针旋转90度则值互换；主对角线翻转（转置）行列式保持不变；主副对角线翻转后行列式取相反数。 3. 行列式还有多种重要的计算公式，如主对角线元素乘积、副对角线元素乘积、上、下三角行列式的值、拉普拉斯展开式以及范德蒙行列式。拉普拉斯展开式允许通过特定元素的替代来简化计算，而范德蒙行列式则是大指标与小指标的连乘积。 4. 行列式与矩阵的性质紧密相连，如n阶矩阵A的行列式等于其所有k阶主子式的线性组合，且当A为n阶非奇异矩阵时，它的秩n，特征值全不为0。此外，矩阵A的秩小于n意味着它不能满秩，这通常可以通过构造相应的齐次线性方程组的解来证明。 5. 可逆矩阵（即非奇异矩阵）的关键特性包括其秩等于n，行（列）向量组线性无关，对应的齐次方程组有唯一解，矩阵与单位矩阵E等价，可以表示为初等矩阵的乘积，且特征值全不为0。同时，如果A可逆，其转置矩阵AT是正定的，表明其对称部分是半正定的。 6. 矩阵的特征值和特征向量是理解矩阵性质的重要工具，它们揭示了矩阵对空间变换的影响，如A的特征值为0意味着存在零特征向量，反映了A不是满秩。 线性代数中的行列式和矩阵运算是理解线性系统的基石，理解和掌握这些关键结论对于解决实际问题和理论研究都极为重要。在学习过程中，不断练习和应用这些概念，将有助于加深对线性代数的理解和应用能力。