应用随机过程第九版习题解答指南

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"英文版应用随机过程第九版的习题答案，这是一份与Sheldon M. Ross所著的《Introduction to Probability Models》教材配套的教师指南。该书由Academic Press（Elsevier的印记）出版，版权属于2007年Elsevier Inc.，并强调未经许可，不得复制或以任何形式传播本书内容。" 这篇摘要提及的书籍《Introduction to Probability Models》是概率论与随机过程领域的一本经典教材，作者Sheldon M. Ross是加州大学伯克利分校的教授。第九版的习题答案对于学习这门课程的学生和教师来说是非常有价值的参考资料，它可能包含了对书中各章习题的详细解答，帮助读者深入理解随机过程的概念、理论和应用。随机过程是概率论的一个分支，主要研究随机变量序列的行为和性质。在数学、物理学、工程学、经济学以及计算机科学等多个领域都有广泛的应用。例如，在金融工程中，随机过程被用于建模股票价格的波动；在通信工程中，随机过程用于描述信号噪声；在生物统计学中，它可以用来分析基因表达的时间序列数据。《Introduction to Probability Models》这本书可能会涵盖以下知识点： 1. 随机变量的基本概念：期望值、方差、分布函数、概率密度函数等。 2. 大数定律和中心极限定理，这些是概率论的基础，用于理解大量独立随机事件的集体行为。 3. 马尔科夫过程，包括离散时间与连续时间马尔科夫链，常用于模拟系统状态的变化。 4. 泊松过程，一种重要的连续时间随机过程，常用于描述事件发生的随机性。 5. 正态过程和布朗运动，后者是金融数学中的核心概念，用于描述资产价格的随机运动。 6. 卡尔曼滤波，一种处理随机系统的最优估计方法，广泛应用于导航、控制和信号处理等领域。 7. 二项式过程和泊松过程的关系，以及它们在统计推断中的应用。通过解答书中的习题，学习者可以巩固这些理论知识，掌握如何运用随机过程解决实际问题。而教师手册则提供了详细的解答，有助于教学和自我评估。不过，需要注意的是，尊重知识产权，未经许可，不应非法复制或分享这些答案。如果需要使用，应遵循出版社提供的权限申请流程。

12 Answers and Solutions

we have

[X]=

∑

i=1

E[X

]

r(r − 1)

(4n − 2)

Because

r(r − 1)(r − 2)(r − 3)

2n(2n − 1)(2n − 2)2n − 3)

For Var (X) use

Var

(X)=

∑

Var(X

)+2

∑

i< j

Cov(X

, X

)

nVar(X

)+n (n − 1) Cov(X

, X

)

where

Var

)=E[X

](1 − E[X

])

Cov(X

, X

r(r − 1)(r − 2)(r − 3)

2n(2n − 1)(2n − 2)(2n −3)

−(

E[X

])

59. (a) Use the fact that F(X

) is a uniform (0, 1) ran-

dom variable to obtain that

= P{F(X

) < F(X

) > F(X

) < F(X

)}

P{U

< U

> U

< U

}

where the U

, i = 1, 2, 3 , 4, are independent

uniform

(0, 1) random variables.

(b) p



(1 − x

)dx



− x

/2)dx



(1/3 − x

/2 + x

/6)dx

= 1/3 −1/6 + 1/24 = 5/24

that X

< X

> X

< X

. They are as follows:

> X

60. E[e



dx =

−1

−e

+ 1

E[e

[

(te

+ e

−e

) − 2t(te

−e

+ 1)]

−2(te

− e

+ 1)

To evaluate at t

= 0, we must apply l’Hospital’s

rule.

This yields

[X]= lim

t = 0

+ e

−e

= lim

t = 0

]=lim

t = 0

2te

+ t

−2te

−2e

+ 2e

= lim

t = 0

Hence, Var

(X)=

−





61. φ

(t)=

+ e

62. E

αλX



αλx

λe

−

λx

dx =

1 −α

Therefore,

= −

αλ

(1−α).

The inequality ln

(1 −x) ≤−x shows that

≥ 1/λ.

63. φ

(t)=

∞

∑

n=1

(1 − p)

n−1

= pe

∞

∑

n=1

((1 − p)e

)

n−1

1 − (1 − p)e

64. (See Section 2.3 of Chapter 5.)

65. Cov

, X

)=Cov(

∑

k=1

∑

t=1

)

∑

t=1

∑

k=1

Cov(a

, a

)

14 Answers and Solutions

73. As N

is a binomial random variable with para-

meters

(n, P

), we have (i) E[N

]=nP

(ii) Va r( X

)

=(1 − P

); (iii) for i = j, the covariance of

and N

can be computed as:

Cov

, N

)=Cov



∑



where X

) is 1 or 0, depending upon whether

or not outcome k is type i

(j). Hence,

Cov

, N

∑



Cov(X

, Y



Now for k

= , Cov(X

, Y



)=0 by independence

of trials and so

Cov

, N

∑

Cov(X

, Y

)

∑

(E[X

] − E[X

]E[Y

])

= −

∑

E[X

]E[Y

] (since X

= 0)

= −

∑

= −nP

(iv) Letting



1, if no type i’s occur

0, otherwise,

we have that the number of outcomes that never

occur is equal to

∑

and thus,



∑



∑

E[Y

]

∑

P{outcomes i does not occur}

∑

(

1 − P

)

74. (i) As the random variables are independent,

identically distributed, and continuous, it fol-

lows that, with probability 1, they will all

have different values. Hence the largest of

,...,X

is equally likely to be either X

...orX

. Hence, as there is a record at time

n when X

is the largest value, it follows that

{a record occurs at n} =

(ii) Let I



1, if a record occurs at j

0, otherwise.

Then



∑



∑

E[I

∑

(iii) It is easy to see that the random variables

, I

,...,I

are independent. For instance, for

< k

= 1/I

= 1} = P{I

= 1},

since knowing that X

is the largest of

,...,X

clearly tells us nothing

about whether or not X

is the largest of

,...,X

. Hence,s

Var

∑

Var(I

∑

j=1





−1



(iv) P

{N > n}

P{X

is the largest of X

,...,X

} =

Hence,

[N]=

∞

∑

n=1

P{N > n} =

∞

∑

n=1

= ∞.

75. (i) Knowing the values of N

,...,N

is equiva-

lent to knowing the relative ordering of the

elements a

,...,a

. For instance, if N

= 0,

= 1, N

= 1 then in the random permu-

tation a

is before a

, which is before a

. The

independence result follows for clearly the

number of a

,...,a

that follow a

i+1

does not

probabilistically depend on the relative order-

ing of a

,...,a

(ii) P

= k} =

, k

= 0,1,...,i − 1

which follows since of the elements

,...,a

i+1

the element a

i+1

is equally

likely to be ﬁrst or second or ...or

(i + 1)

(iii) E

i−1

∑

k=0

k =

i −1

i−1

∑

k=0

(

i −1)(2i −1)

and so

Var

(

i −1)(2i −1)

−

(

i −1)

−1

76. E

[XY]=µ

E[( XY )

]=(µ

)(

)

Var(XY )=E[(XY )

] − (E[XY])

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