改进的Faddeev型算法：投影算子计算新方法

本文主要讨论了投影算子的Faddeev型算法的改进，特别是针对投影算子PATs和PT(A^* - S_⊥)^⊥的计算方法。该研究发表于2001年的《南京师范大学学报(自然科学版)》第24卷第2期，作者为王波，属于自然科学领域的论文。 在文章中，作者首先引用了前人的研究成果，指出前文[1]提出了广义逆A^*s的有限算法，以及推论2.3中给出的投影算子PATs和PT(A^* - S_⊥)^⊥的算法。然而，本文的主要目标是提供一种改进的方法，直接计算这两个投影算子，而不必先计算广义逆A^*s，从而优化了原有算法。 作者引述了两个关键的引理。引理1表明，矩阵A在满足特定条件时，存在一个满足R(X)=T，N(X)=S的(2)逆X，这个X唯一并记作X=A^*s。引理2则指出，对于满足引理1条件的A、T和S，可以得到特定的投影关系，例如PR(A)=AAM，PR(A^*)=A^*AM等。 接着，文章的核心部分是定理1.1，该定理提出了一个新的序列构造方法，定义了两个序列P_j 和Q_j。初始值P_0=1，Q_0=A^*Y，后续项通过迭代公式(4)和(7)计算。通过这些序列，作者证明了P_j 会收敛到一个投影算子P，而P满足PATE=iP_j-1，且P_j-(A^* - S_⊥)^⊥=iP_j-1。这个结果改进了前文中的算法，使得可以直接计算所需的投影算子，而无需先计算广义逆。 文章最后，作者通过一系列的数学推理和操作，展示了所提出的序列构造如何逐步逼近所需投影算子，从而证实了定理1.1的正确性。这种方法对实际计算投影算子提供了更有效率的途径，特别是在处理大型矩阵时，避免了计算广义逆可能带来的复杂性和计算量。 总结起来，这篇论文为计算投影算子提供了一种改进的Faddeev型算法，它简化了计算过程，提高了计算效率，是对广义逆矩阵理论的一个实用贡献。这一成果对于理解线性代数中的投影算子以及在相关领域，如数值分析、信号处理或控制系统理论中的应用有着重要的意义。