精确距离标号与图论算法：ACM/ICPC竞赛核心

精确的距离标号在通信系统中的通信网络分析中扮演着关键角色，尤其是在图论算法理论中。在图6.19所示的精确距离标号概念中，它涉及到残余网络G'中的路径长度计算。有效的距离函数d定义了一系列重要性质： 1. 路径下界：若d(u)是u到汇点Vt的有向路径长度，它提供了从顶点u到汇点的最短路径的下限。这对于理解网络中信息传输的最小代价至关重要。 2. 增广路与无路条件：如果d(Vs)大于等于网络的节点数n，意味着从源点Vs到汇点Vt不存在有向路径，即增广路不存在，这对于判断网络的连通性和寻找关键路径很有帮助。 3. 允许路与短增广路：在残留网络G'中，短增广路是重要的路径类型，它们允许流量在网络中流动，同时也是预流推进算法的重要考虑因素。 确定精确距离标号的方法：通过从汇点Vt开始，采用广度优先搜索（BFS）反向查找，这个过程的时间复杂度为O(m)，其中m是网络的边数。精确的距离标号反映了顶点到汇点的最短路径长度，这使得整个网络能够按照路径长度进行层次化组织。 4. 层次与距离标号的关系：这里的层次实际上是一种精确的距离标号，它是从源点开始递增的，表示源点到各顶点的最短路径长度。比如，图6.19中的顶点被划分为不同的层次，便于理解和操作。 预流推进算法思想： - 赢余（Excess）：在网络中，赢余是流量的净输入量，即流入流量减去流出流量。活跃顶点是指那些赢余大于零的顶点。 - 预流：满足特定容量限制（如每条边的流量不超过其容量）且赢余非负的网络流被称为预流。预流推进算法的目标是通过调整流量分配，尽可能减少活跃顶点的赢余，直到找到可行流。 - 选择策略：在多邻接顶点的情况下，算法优先推进距离汇点Vt较近的顶点，因为最终目标是流向汇点。如果当前活跃顶点无允许弧，会增加其距离标号以便找到允许路径。 《图论算法理论、实现及应用》一书全面介绍了图论的基础概念，包括图的存储结构（邻接矩阵和邻接表），以及一系列核心问题的处理方法，如图的遍历、树与生成树、最短路径、网络流、集合问题（如支配集、覆盖集、独立集）和连通性问题等。该书不仅适用于图论课程的教学，也是ACM/ICPC竞赛的良好参考资料，因为它强调了理论和实践的结合，通过实际问题展示图论算法的应用价值。