Bob的竞赛之路：最大起始点数量

"Bob在村庄里举办比赛，需要规划一条路线，使得所有参赛者从不同的房子出发，跑得尽可能远，且最长与最短距离之差不超过Q，房子编号连续，求最多能有多少人参加比赛。" 这篇关于"poj 4003 Bob’s Race"的文章是ACM（国际大学生程序设计竞赛）中的一道问题，涉及到图论和最短路径算法。题目描述了一个村庄有N个房子和N-1条连接这些房子的道路，Bob希望设计一场比赛，让每个参与者从不同的房子出发，并且尽可能跑得远，但要求最长和最短的距离差不超过Q。此外，房子的编号必须连续，Bob想知道最多可以有多少人参赛。 首先，我们需要理解图的概念，每个房子是一个节点，每条道路是一条边，边的长度代表了两个节点之间的距离。Bob的问题转化为：在一个有向图中找到一组起点，使得这些起点之间任意两点间的最短路径的最大值与最小值之差小于或等于Q，并且起点的编号连续。 解决这个问题的关键在于找到一种有效的方法来计算每一对节点之间的最短路径，这可以通过Dijkstra算法或者Floyd-Warshall算法实现。Dijkstra算法适用于没有负权边的情况，而Floyd-Warshall则可以处理有负权边的图，但本题中未提及负权重，因此我们可以使用Dijkstra算法。 1. **Dijkstra算法**：这是一种贪心算法，用于寻找图中单源最短路径。对于每个节点，我们维护一个当前已知的到该节点的最短路径。初始时，源节点的最短路径设为0，其他节点设为无穷大。然后，我们逐个将节点加入到已知最短路径的集合中，每次选择距离源节点最近的未处理节点，更新其邻居节点的最短路径。重复这个过程，直到所有节点都被处理。 2. **求解最优化问题**：对于每组查询，我们需要找出一组连续的房子作为起点，使得最长和最短距离之差最小。这可以通过遍历所有可能的起点组合来实现，对于每组连续的房子，计算所有起点到终点的最短路径，并找到最大值和最小值。如果它们的差小于或等于Q，那么这组起点是可行的。记录下可选起点数量的最大值。 3. **优化搜索过程**：由于题目要求房子的编号必须连续，我们可以利用这个特性来减少搜索空间。例如，一旦找到了一组满足条件的起点，那么在这些起点之后的任何连续起点组合都无法得到更优的结果，因为它们会增加最短路径的长度。 4. **处理多组查询**：题目中提到有M组查询，每组查询对应一个不同的Q值。我们需要对每组查询执行上述步骤，找到对应的起点数量。 最后，对于每组测试用例，输出在满足条件的情况下，Bob最多可以有多少人参赛。这道题目需要对图算法有深入理解，以及高效的编程技巧来处理大量数据和多组查询。