旋转后三次样条曲线：插值验证与图形展示

本文档主要探讨了旋转后的三次样条曲线在数值计算中的应用，特别是在验证三次样条函数插值的几何不变性。在题目中，首先给出了一个具体的实例，涉及到一组插值节点和对应的函数值，这些节点坐标为Xi=[8.125, 8.4, 9.0, ..., 10.2]，对应的函数值Yi=[0.0774, 0.099, ..., 2.177]。这些数据用于构建三次样条插值函数。 （1）问题的核心是构造三次样条函数S(x)，其形式为一组多项式表达式，根据给定的节点和端点边界条件（一阶导数）。样条函数的构造遵循以下规则： - 对于每个节点i，定义四个控制点a, b, c, d，它们与节点x_i相关联。 - 样条函数S(x)由这些控制点通过多项式连接构成，如S(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d。 - 根据节点处的连续性和光滑性条件，多项式的连接方式采用特定的加权和形式，确保曲线在节点间平滑过渡。 （2）在题目描述中，关键步骤是将已有的三次样条曲线旋转-45度。这涉及到对每个点(x, y)应用旋转矩阵，即通过公式xx3 = cos(theta) * xx1 - sin(theta) * yy1和yy3 = sin(theta) * xx1 + cos(theta) * yy1，其中theta=-45度或π/4弧度。这样做的目的是为了观察旋转后曲线的形状变化，以及它是否保持了样条插值的性质。 （3）最终目标是将旋转后的曲线与原始曲线一起绘制在同一图上，以便直观地验证三次样条插值的几何不变性，即曲线在变换下（如旋转）仍能保持相同的数据拟合效果。这有助于理解插值方法对几何变换的适应性，对于实际工程应用中可能遇到的图形旋转、缩放等操作具有重要意义。 总结来说，这个文档提供了关于三次样条插值的构造、旋转操作以及几何不变性检验的方法，这对于理解和使用三次样条插值技术，特别是在处理图形变换时，是非常有价值的参考资料。