图的同构与基本概念

"图的同构-图的基本概念" 在离散数学中，图是一种重要的抽象数据结构，用于描述对象之间的关系。本章主要探讨了图的基本概念，包括图的定义、性质以及图的同构。图的同构是衡量两个图之间结构相似性的关键概念。 图的同构定义如下：设G1=<V1,E1>和G2=<V2,E2>为两个无向图，如果存在一个双射函数f：V1→V2，满足对于V1中的任意两个顶点vi和vj，当且仅当(f(vi),f(vj))在V2中也是边，且这两条边的重数相同，那么我们说G1与G2是同构的，记作G1≌G2。这意味着两个图不仅在顶点数量上相等，而且它们的边连接方式和边的权重也完全一致。这个定义同样适用于有向图，只是考虑边的方向。 图的同构关系是一个等价关系，因为它满足自反性（每个图与自身同构）、对称性（如果G1与G2同构，那么G2也与G1同构）和传递性（如果G1与G2同构，G2与G3同构，那么G1与G3也同构）。因此，同构关系将所有具有相同结构的图分到同一个等价类中。在图同构的意义下，图的数学定义与其图形表示是一一对应的，无论图是以何种方式表示，只要它们的结构相同，就认为是同构的。 本章还涵盖了图的一些基础概念，如无向图和有向图的定义。无向图是一个由顶点集V和无序边集E组成的二元组G=<V,E>，而有向图D=<V,E>的边集E是笛卡尔积V×V的多重子集，其中边是有方向的。例如，无向图G可能包含两个顶点v1和v2之间的一条或多条边，而有向图D则会明确指出边的方向，如从a到b或从b到a。 图的度数是衡量一个顶点与其他顶点连接程度的量，它等于与该顶点相连的边的数量。握手定理指出，在无向图中，所有顶点的度数之和等于边的总数的两倍。此外，简单图是没有平行边（同一对顶点间的多条边）和自环（一个顶点到自身的边）的图，而多重图则允许存在平行边。 完全图是每个顶点都与其他所有顶点相连的图，每个顶点的度数都是n-1，其中n是图的顶点数。正则图是指所有顶点的度数都相同的图。子图是由原图中的一部分顶点和这些顶点间的一些边构成的新图，而补图则是原图中所有未连接的顶点对都被边连接，已连接的顶点对被移除边的图。 在图的矩阵表示中，邻接矩阵和边集矩阵是常见的表示方法，它们将图的结构转换为矩阵形式，便于进行数学分析和计算。图的运算包括图的并、图的积、图的差、图的生成子图等，这些运算是图论研究中的基本操作，有助于理解和比较不同图的结构特性。 通过学习这些基本概念，我们可以更好地理解和应用图在各种实际问题中的模型，例如网络分析、社交网络、交通网络、生物信息学等领域。掌握图的同构和相关知识，对于解决复杂系统中的相似性和分类问题至关重要。