M. Campercholi et al. /Electronic Notes in Theoretical Computer Science 348
(
2020
)
23
(i)
若
γ
是
G
的
一个
次同构
,
则
γ
given
的
扩张
γ
(
γ
0)
=
γ
0
γ
<$
(<
$1
)
=
<
$1
是
G <$1 的
一个
次同构
.
(ii)
若δ是G的一个次同构,则δ[G]<$G且δ|
G
是的一个次同构
G
接下来我们证明了,G
,
R
<$<$− →G
,
R是从QfDef[Graphs]到QfDefAlg的多项式
时间(
Karp
)约简。显然
,
G
可以
在多项式时间内从G计算出来,所以仍然需要证
明
R
在G中是
qf
可定义的,当且仅当
R
在G中是
qf
可定义
的
。固定一个有限图G和
R
G
k
。设
R
在G中不可
qf-
定义。然后,根据定理
2.1
,存在
γ
,G的一个次同构,它
不保持
R
。现在
(1)说γ
是
G
的一个次同构,由于它不保持R,因此R在G
中
是不可qf-定义的。对于其余方
向,假设R在G
中
不可qf定义。定理2.1又产生了G
的
一个不保持R
的
次同构δ。 由(2)
可以得出,δ
G
是G的一个不保持R的次同构;因此R在G中不是qf-可定义的。
证明QfDefAlg在coNP中是定理的直接应用
2.1.
事实上,每一个负面的例子
A
、
R
QfDefAlg
的双射证明了 满足条件的
A
的子
集之间
的
γ
在多时间
w.r.t.
中容易检查。的大小
,
R
。
Q
从定理3.1的证明可以得出,QfDefAlg对具有单个二元交换运算的结构的限制对
于coNP已经是完全的。
4
计算元组的同构类型
在这一节中,我们给出了一个计算
有限代数
结构
A
中元组a ′的同构类型的算法,并
证明
它
是
正确的。
我们
从
一些
必要的定义和初步结果开始
设A是有限代数,对每一个k∈ω
,
我们定义等价
关系
上
A
n
by
a
<
$
k
<$
b
当
且仅
当对
所有
项
t
,
s
∈
T
k
(
x
0
,
.
,
xn
−
1
)
我们
知道,
t
A
(
a<
$
)=
s
A
(
a<
$
)
t
A
(<
$
b
)=
s
A
(
<$
b
)
.
定义
等价关系
A
n
by
a
<
$
b
当
且仅
当
a
<
$
k
<
$
b
对
所有
k
∈
ω
。
Fo
r
a
<
$∈
A
n
let
K
a
<
$
:=
min
{
k
∈
ω
:
对
所有
的
t
∈
T
k
(
x
<$
)
,
有
t
<$
∈
T
k
−
1
(
x
<$
)
suc h
使得
t
A
(
a
<
$
)=
t
<$
A
(a <
$
)
}
。
注意,由于A是有限的,这个最小值总是存在的。
引理
4.1Le
t
A
b
e
a
有限
代数
a
和
a<
$
,
<$
b
∈
A
n
。
(i)
如果
a
<$
K
a
<
$
b
,
则
对于
任
何
项
t
(
x
<$
)
,
r
e
是项
t
(
x<
$
)
l
,
其中
l<
K
a
<$
使
得
t
A
(a
<
$
)=
t
A
(a <
$
)
且
t
A
(<
$
b
)=
t
A
(<
$
b
)
。
(ii)
如果
a
K
a
b
,
那么
a
b
。
(
i
)
的公式首先
观察到
,
从
下面的定义中,K
a
<$
=
K
<$
b
;
我们
写为
K
是
K
的
意思
。 固定
一
个
项
t
(
x
<$
)
。
如果
t
(
x
<$
)
∈
T
K
−
1
,
我们
可以
说
t
=
t
<$
,
所以
假
设
t
∈
T
K
+
j