修正Gram-Schmidt正交化在广义逆平差中的应用

"这篇论文是关于修正的Gram-Schmidt正交化在广义逆平差方法中的应用，发表于2012年的《武汉大学学报·信息科学版》第37卷第2期。作者们提出了一种新的算法，用于解决线性方程组在存在秩亏矩阵情况下的非唯一解问题。这种方法通过修正的Gram-Schmidt正交化过程，对系数阵进行三角分解，以实现最小二乘解的求解，同时避免了矩阵求逆的计算，提高了数值稳定性。该方法尤其适用于处理不需要起算数据的变形监测网数据，能够提供经典解、伪逆解或拟稳解。" 正文: 在传统的线性平差问题中，通常假设误差方程的系数阵是列满秩的，以确保未知数的唯一解。然而，在某些实际应用中，如变形监测网络的平差，由于缺乏必要的起算数据，系数阵可能成为秩亏矩阵，导致解的不唯一性。为了解决这个问题，论文提出了一种基于修正的Gram-Schmidt正交化过程的广义逆平差方法。 修正的Gram-Schmidt正交化是一种改进的矩阵分解技术，它旨在克服原始Gram-Schmidt过程中的数值不稳定性，这通常是由舍入误差引起的。在修正的过程中，通过特殊的处理方式，可以更稳定地将系数矩阵分解为一个上三角矩阵，这为求解最小二乘问题提供了基础。最小二乘法是寻找最接近所有观测值的解，即使得误差平方和最小的解，对于秩亏矩阵来说，这种方法能确保找到一个合理的近似解。 论文详细阐述了利用修正的Gram-Schmidt正交化求解系数矩阵广义逆的数学公式和计算步骤。广义逆是一种扩展了逆矩阵概念的工具，特别适用于处理奇异矩阵或秩亏矩阵。通过广义逆，可以表示出未知数解向量及其协因数阵，这些表达式对于理解和评估解的性质至关重要。 实证分析表明，该方法不仅可以有效地处理秩亏矩阵，而且在处理变形监测网这样的数据时，无需额外计算就能获取经典解、伪逆解或拟稳解。这意味着，无论初始条件如何，该方法都能提供一系列可能的解，使得研究人员可以根据具体应用场景选择合适的解。 修正的Gram-Schmidt正交化广义逆平差方法为处理秩亏线性方程组提供了一个强大且稳定的工具，尤其适用于不需要起算数据的平差问题，如大地形变测量中的数据分析。这种方法避免了传统方法可能带来的问题，提高了计算效率和解的可靠性。