数值分析基础：求根与线性方程组解法详解

数值分析是一门研究如何使用数值方法求解数学问题的学科，特别是在不能或不便于利用解析方法时。南邮的数值分析课件涵盖了该领域的核心内容，包括但不限于以下几个方面： 1. 第一章绪论：介绍了数值分析的背景和重要性，以及为何在求解高次方程、没有精确解析解的问题时需要依赖数值方法。通过实例A，一个五次方程的求根问题，展示了如何应用介值定理证明存在解，但强调了由于缺乏五次以上方程的精确求根公式，必须采用数值方法来找到近似解。 2. 插值法：在第二章中，课程详细讲解了如何通过构建适当的函数来逼近数据点，如线性插值、多项式插值等，这是处理实际问题中缺失数据或进行预测的基础。 3. 函数逼近与计算：这一章节进一步深入到函数的近似表示，如泰勒级数展开，用于估计函数在某点的值或导数，为数值积分和微分提供工具。 4. 数值积分与数值微分：这部分内容介绍了如何用数值方法来计算定积分和偏微分，这些是解决物理问题、优化问题等的关键步骤。 5. 常微分方程数值解法：对于动态系统和物理模型，课程会介绍各种数值方法来求解常微分方程，如欧拉方法、龙格-库塔法等。 6. 方程求根：针对非线性方程，课程讨论了数值求根算法，如牛顿迭代法，以及如何确定收敛性和停止条件。 7. 解线性方程组的方法：无论是直接法（如高斯消元法）还是迭代法（如共轭梯度法），都是处理大型线性系统的基石。 8. 矩阵的特征值与特征向量计算：这是数值线性代数的一部分，特征值和特征向量在诸如谱分解、动力系统模拟等众多领域中具有重要意义。 9. 实际应用示例：通过例B，介绍了如何运用数值分析方法解决工程问题，如弹簧问题中的弹性系数计算。通过绘制散点图，学生学习了如何直观地理解数据并运用拟合方法得出结果。 综上，南邮的数值分析课件旨在培养学生的数值计算技能，使他们能够在实际问题中熟练运用数值方法，提高解决问题的能力。