图论算法讲解：大匹配与小边覆盖在飞行员搭配问题中的应用

"本书主要探讨图论算法，包括图的基本概念、图的遍历、树与生成树、最短路径、网络流、点集问题、图的连通性以及平面图与图的着色等。内容适合计算机及相关专业的学生学习，同时也适合作为ACM/ICPC竞赛的参考资料。" 在图论中，"盖点"和"未盖点"的概念常常出现在匹配问题中，特别是在最大匹配问题的讨论中。匹配是指图中的一组边，其中任意两条边都不共享公共顶点。在图7.11和例7.6的飞行员搭配问题中，每个飞行员被视为一个顶点，如果两个飞行员可以一起飞行，则在他们之间画一条边。目标是找到一个匹配，使得尽可能多的飞机可以派出，即最大化匹配的边数。 最大匹配问题的关键在于确定图中能同时被选择的边的最大集合。在这个飞行员搭配问题中，图7.12展示了10个飞行员和他们的搭配关系。粗线表示一种可能的搭配方案，且任何两条粗线没有共同的端点，确保了飞行员不会同时被分配到两架飞机上。寻找包含最多边的匹配，就是寻找图的最大匹配。 图7.12中的例子直观地展示了如何转化大匹配问题为小边覆盖问题，反之亦然。大边独立集（大匹配）指的是图中最大的边集合，其中任意两条边都不相邻。小边覆盖集则是指用最少的边来覆盖所有的顶点，使得每个顶点至少被一条边涵盖。根据定理7.4，可以从大匹配出发构造小边覆盖，也可以从小边覆盖出发构造大匹配，这是两者间的相互转换策略。 在图论算法的学习中，邻接矩阵和邻接表是两种常见的图数据结构。邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中顶点之间的邻接关系，而邻接表则更为节省空间，尤其适用于稀疏图，它用链表存储每个顶点的邻接点。 本书详细介绍了图的遍历（如深度优先搜索和广度优先搜索），这对于理解活动网络、树与生成树问题、最短路径问题（如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法）至关重要。此外，还涵盖了图的连通性问题，如强连通分量和最小生成树。网络流问题，如Ford-Fulkerson算法，用于求解最大流量和最小割问题。点支配集、点覆盖集、点独立集、边覆盖集、边独立集（匹配）是图论中的核心概念，它们在优化问题和组合优化中有着广泛的应用。 平面图与图的着色问题是另一个有趣的分支，欧拉通过解决哥尼斯堡七桥问题引入了图的概念，并发展出图的判定法则。平面图是指可以在平面上绘制而不导致边交叉的图，而图的着色问题则涉及到给图的顶点分配颜色，要求相邻顶点颜色不同，经典的四色定理就是关于平面图着色的一个著名结果。 这本书深入浅出地介绍了图论算法的理论和实践，不仅适合高等教育阶段的计算机科学学生，也是准备ACM/ICPC竞赛选手的重要参考资料，帮助读者理解和应用图论算法解决实际问题。