图的定义与类型：有向图、无向图和完全图

"该资源是一份关于图论的教程，主要涵盖了图的定义、存储方式、遍历方法以及应用。" 在计算机科学中，图是一种非常重要的数据结构，用于表示对象之间的关系。图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，可以用来模拟各种复杂的关系网络，例如社交网络、交通网络、计算机网络等。在图论中，一个图G被定义为一个偶对(G, E)，其中G包含顶点集合V和边集合E。顶点集合V是非空有限集合，而边集合E是顶点对的子集，可以是有向或无向。 1. **图的分类** - **有向图**：边具有方向性，每个边由一个有序的顶点对表示，如<a, b>表示从顶点a指向顶点b的边。 - **无向图**：边没有方向，边由无序的顶点对表示，如(a, b)表示连接顶点a和顶点b的边。 2. **图的性质** - **简单图**：不包含重复边且没有自环（顶点到自身的边）的图。 - **完全图**：无向图中，任意两个不同的顶点间都有边相连；有向图中，任意两个不同的顶点间都有方向相反的两条边。 3. **图的存储** - **邻接矩阵**：使用二维数组存储，矩阵的每个元素表示对应顶点之间是否存在边。 - **邻接表**：为每个顶点维护一个列表，记录与其相邻的所有顶点。 4. **图的遍历** - **深度优先搜索(DFS)**：从某个顶点开始，沿着边尽可能深地探索图的分支，直到访问完所有可达顶点。 - **广度优先搜索(BFS)**：从起始顶点开始，逐层访问所有相邻的顶点。 5. **图的应用** - **最短路径问题**：如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法求解图中两点间的最短路径。 - **最小生成树**：Prim算法和Kruskal算法用于找到图中所有顶点的边形成的树，使得树的总权重最小。 - **拓扑排序**：对有向无环图（DAG）进行排序，使得对于每一条边(u, v)，u总是在v之前。 图的概念在实际问题中有着广泛的应用，如网络路由、推荐系统、社会网络分析、电路设计等。理解并掌握图的性质、遍历和操作方法是解决这些实际问题的关键。学习图论不仅有助于提升编程能力，也能为理解和解决复杂问题提供理论基础。