非负矩阵分解(NMF)与图形模型解析

"这篇资源是关于非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）的讲解，由微软亚洲研究院的首席研究员Lei Zhang在2009年发表。文档涵盖了矩阵分解的基本概念，包括PCA、SVD以及NMF，并介绍了图形模型与概率机器学习的基础知识，如EM算法、pLSA和LDA。" 非负矩阵分解（NMF）是一种数学技术，用于将一个非负的矩阵A分解为两个非负矩阵B和C的乘积，即A = BC。这种分解在数据挖掘、图像处理和文本分析等领域中有广泛应用，因为它能揭示数据的潜在结构并提取有意义的特征。 PCA（主成分分析）和SVD（奇异值分解）是常见的矩阵分解方法，但它们不一定保持矩阵元素的非负性。相比之下，NMF的优势在于它能保留数据的正向性质，使得结果更容易解释。在NMF中，矩阵A的每一行被视为一个数据样本，矩阵B的每一列代表一组基，而矩阵C则包含了样本在这些基上的坐标。 矩阵B中的基通常表示数据的通用特征，例如在图像处理中，这些基可能对应于图像的基本颜色或纹理；在文本分析中，它们可能对应于主题或词汇的共现模式。矩阵C则表示每个数据样本在新基上的投影，即每个样本对应的特征向量。 为什么我们需要矩阵分解？通过矩阵分解，我们可以将高维度的数据转换到一个低维度的表示空间中，降低复杂性，同时保留数据的主要信息。这对于数据压缩、降维、特征提取和模式识别等任务非常有用。NMF尤其适合那些具有自然非负属性的数据，比如光谱分析、用户行为数据或文本词频矩阵。 进一步地，文档还提到了图形模型和概率机器学习的基本概念。EM（期望最大化）算法是估计概率模型参数的一种常用方法，特别适用于处理隐变量模型。pLSA（概率潜在语义分析）和LDA（主题模型）是两种用于文本分析的概率模型，它们通过假设数据产生过程来揭示文档的主题结构。 这份资源深入浅出地介绍了NMF以及相关的矩阵分解和图形模型概念，对于理解数据表示和机器学习中的降维方法提供了宝贵的理论基础。