数学复习笔记：高等数学、线性代数与概率统计核心概念

本文主要探讨了无穷小的概念以及与有界变量的关系，同时还涉及到了极限的性质和运算法则。在数学分析中，无穷小是一种趋于零的量，它在描述函数变化趋势时扮演着关键角色。 1. **无穷小的性质**： - 有限个无穷小的代数和仍然是无穷小，这意味着无穷小可以相加而保持其性质。 - 有限个无穷小的乘积也是无穷小，这表明无穷小在乘法运算中保持其特性。 - 当无穷小乘以一个有界变量时，结果仍然是无穷小。有界变量是指在一定范围内波动的变量，其值不会无限大或无限小。 2. **极限的四则运算**： - 极限的加减法法则：如果lim(f(x)) = A 和 lim(g(x)) = B，则lim(f(x) ± g(x)) = A ± B。 - 极限的乘法规则：lim(f(x) * g(x)) = A * B，前提是A和B是f(x)和g(x)的极限。 - 极限的除法规则：如果B ≠ 0，那么lim(f(x) / g(x)) = A / B，当lim(f(x)) = A和lim(g(x)) = B。 3. **极限存在准则**： - 单调有界准则：一个单调有界的数列必定有极限。 - 夹逼准则（也称为介值定理）：如果函数在某点的两侧被两个趋近于该点的极限所夹，那么该函数在该点也有极限。 4. **重要极限**： - 两个经典重要极限：lim(x->0) (sin(x) / x) = 1 和 lim(x->0) (1 - e^(-x)) / x = 1。 - 还有其他一些特殊极限，例如lim(n->∞) (1 + 1/n)^n = e，以及arctan和arccot函数的极限。 5. **函数连续性**： - 函数在某点连续的定义：如果lim(x->a) f(x) = f(a)，则称f(x)在x=a处连续。 - 连续函数在闭区间上的性质包括有界性和最值定理，即连续函数在其定义域内总能找到最大值和最小值。 6. **考研数学公式**： 文章中提到的标签“考研数学公式”暗示了这些知识点对于准备研究生入学考试的考生非常重要，涵盖了高等数学（如函数、极限、连续性、微分、积分、向量代数、线性代数和概率统计等）、线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组等）和概率论与数理统计的基础概念。 文章涉及的数学知识点广泛且深入，适用于准备考研的学子们复习和理解。这些理论是数学分析、线性代数和概率论的基础，对于解决复杂的数学问题至关重要。