WZ方法与积分计算的创新应用及推广

本文主要探讨了WZ方法在一类定积分计算及其推广中的应用，这是由WILF和ZEILBERGER在1990年创立的一种自动化证明超几何级数和恒等式的方法。WZ方法的核心思想是通过构造满足特定递推关系的函数对(F(n,k), G(n,k))或其连续版本(F(x,y), G(x,y))来简化复杂的积分问题。 文章首先回顾了WZ方法的基本概念，即WZ方程和连续WZ方程，它们分别为离散和连续情况下的形式。在离散情况下，如果函数F(n+1,k) - F(n,k) = G(n,k+1) - G(n,k)，则称(F(n,k), G(n,k))为一对WZ偶。而在连续情况下，方程F(x,y) = G(x,y)对于变量x和y的关系被称为连续WZ方程。 本文的主要贡献在于将WZ理论与留数定理相结合，通过计算机代数系统的辅助，解决了一个问题：给定定积分∫_0^∞ f(t) dt = a，作者构造了一种新的函数g(t)和g(t,s)，这些函数与原函数f(t)本质不同，但满足g(t) = g(t, s0)（例如s0=1）且它们的积分结果与f(t)相同，即∫_0^∞ g(t) dt = ∫_0^∞ g(t, s) dt = ∫_0^∞ f(t) dt = a。这种方法不仅提供了已知积分公式的简洁证明，还扩展了其应用范围。 具体地，作者利用这种方法重新发现了CADWELL在1947年利用围道积分得出的著名等式：∫_0^π sin(x^2) dx = ∫_0^π cos(x^2) dx = π/2 + ∫_0^∞ e^{-x^2} dx，并进一步推广了这个结果。这表明WZ方法不仅可以用于传统的离散问题，而且能够处理涉及实数参数的连续积分问题，并在积分理论中找到了新的表达形式和证明方式。 关键词：WZ方法、WZ方程、定积分的计算。这篇文章对数学分析尤其是积分理论的自动化证明方法做出了实质性的贡献，为后续研究者在处理复杂积分问题时提供了一种新颖而有效的工具。