迪杰斯特拉算法：单源最短路径问题的经典解法

迪杰斯特拉算法(Dijkstra's Algorithm)，是由荷兰计算机科学家Edsger Wybe Dijkstra于1956年提出的一种用于解决单源最短路径问题的有效方法。这个问题的目标是在一个带有权重的图G=(E,V)中，寻找从指定源顶点s到所有其他顶点v的最短路径。Dijkstra算法适用于有向或无向图，但要求所有的边都具有非负权重，并且整个图必须是连通的。 该算法的核心思想是分阶段处理，它通过贪心策略逐个找到当前阶段距离源节点最近的未访问顶点，并更新其邻居的最短距离。下面是算法的主要步骤： 1. 初始化：将源节点s的距离设为0（dist[s]=0），其余所有节点的距离设为无穷大(dist[v]=∞)。创建两个集合，S表示已访问的顶点集合，初始为空；Q为待处理的顶点集合，包含所有节点。 2. 优先级队列操作：将所有非源节点加入队列Q。在循环过程中，队列中的元素通常是当前已知距离最小的节点。 3. 循环执行： - 从队列Q中取出当前距离最小的顶点u。 - 对u的所有未访问邻接节点v，如果通过u到达v的路径长度小于当前已知的最短路径长度，更新dist[v]为新值，并将v加入集合S。 - 更新队列Q，移除已经访问过的节点u，以便下一次选择更优的节点。 4. 当队列Q为空或者只剩下一个节点时，算法结束。此时，集合S包含了所有从源节点s可达的顶点，dist数组中存储了从s到每个顶点的最短路径长度。 由于Dijkstra算法对边权重有限制，当图中存在负权重边时，可能无法得到正确的结果，因为负权重可能导致无限循环。然而，在实际应用中，很多网络、地图导航等问题中，非负权重假设是合理的。Dijkstra算法因其高效性和简洁性，在路由算法、计算机网络路由、GIS系统等领域得到了广泛应用，是数据结构和算法课程中的经典内容。Dijkstra本人因其对计算机科学的贡献，特别是他在算法设计方面的杰出工作，于1972年获得了被誉为“计算机界诺贝尔奖”的图灵奖。