北航数值分析大作业三：牛顿法与分片二次插值应用

本篇文档是关于北京大学航空学院的一份数值分析大作业题目，主要涉及非线性方程组的求解方法以及分片二次插值的运用。作业主题是关于数值分析中的一个典型问题——利用牛顿法解决非线性方程组。 首先，作业的核心是牛顿法的算法设计。牛顿法是一种迭代方法，用于寻找非线性方程组的根。该方法从给定的初始估计值（通常称为初值）开始，通过构造并求解一个线性化问题来逐步逼近真实解。具体步骤如下： 1. 选择一个初始值 `x0` 和 `y0`，并设定一个预设的精度 `Eps1`（本例中为1.0e-12）作为终止标准。 2. 计算函数和其导数 `f(x, y)` 及其雅克比矩阵（即函数梯度和Hessian矩阵）在 `(x0, y0)` 处的值。 3. 使用Doolittle分解法求解由雅克比矩阵构成的线性方程组，这一步确保了下一个迭代点的更新方向。 4. 如果新解满足精度要求（即 `|f(x, y)| < Eps1`），则停止迭代；否则，继续进行下一轮迭代。 分片二次插值部分则是用来构建一个数值表，将非线性方程组的解应用到一个二维区域内的插值函数中。选择插值节点时，遵循一定的规则，例如当 `x` 或 `y` 接近边界时，选择1或4作为插值点。利用Lagrange插值公式，根据这些节点计算出插值多项式，然后将函数值代入，形成数表。 接下来，作业要求拟合一个曲面，为此构建了系数矩阵。这个过程可能涉及到计算曲面拟合多项式的系数，通过逐次增加 `k` 的值，直到达到所需的精度。这里的 `k` 可能与插值节点的增加有关，每个 `k` 值对应着曲面的一个局部逼近。 最后，作业通过实际操作来评估逼近效果。这包括： - 解非线性方程组得到函数值 `z`， - 用分片二次插值得到插值函数的值， - 比较两者，即 `z` 与插值函数的值，以判断数值分析方法的逼近效果是否满意。 整个过程涉及的编程实现部分包括使用 C++ 编程语言编写函数，如 `IteNewton`、`vNorminf`、`Doolittle`、`Interp2` 等，以及矩阵运算函数如矩阵求逆、转置和乘法。`main` 函数整合了这些步骤，并处理输入数据和输出结果。 这份大作业涵盖了数值分析中的核心概念，包括非线性方程组求解、插值方法和矩阵运算，旨在锻炼学生在实际问题中的理论理解和编程能力。