王勖成有限单元法教程：构建与插值函数详解

有限单元法是数值分析中的一个重要概念，由王勖成教授的课件详细介绍了这一领域的核心内容。本章主要集中在“单元与插值函数”上，它是有限元方法的基础，用于构建数值模型来解决工程问题，如结构分析、流体力学等。 首先，章节讲解了自然坐标的概念，包括和物理坐标系同维的曲线坐标（例如在一维和二维问题中的线性或抛物线插值）和与物理坐标系不同维的面积坐标（如三角形或矩形的面积）以及体积坐标（例如四面体或立方体的体积）。这些坐标系统对于定义单元内的函数行为至关重要，它们的建立方法和特点是理解和应用有限单元法的关键。 接着，介绍了两种构造单元插值函数的主要方法：广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法。广义Lagrange法利用拉格朗日基函数在每个节点处为零，而变结点法则允许插值节点的位置自由变化，提供了更大的灵活性。这两种方法的步骤和特点有助于理解如何将连续函数近似为有限数量的节点值。 章节还涉及了特定类型的单元，如Lagrange单元（基于均匀节点分布的一阶或更高阶的插值）和Serendipity单元（一种在保持二阶精度的同时减少未知数的高级单元），以及阶谱单元，这是一种能提供高阶准确性的特殊设计。阶谱单元的插值函数构造具有重要意义，因为它可以直接反映物理问题的特性。 在几何角度上，有限元方法使用的单元被分为一维、二维和三维，分别对应线性元素、面域元素和体单元。这些单元根据其几何形状和结构形式，如实体单元和结构单元，有不同的应用和计算特性。 然而，使用广义坐标有限元方法时，也存在一些问题。主要挑战包括插值函数构造方法的复杂性和由此产生的单元矩阵的复杂性。这要求在实际应用中对算法进行优化，以便在保持精确度的同时，降低计算成本和内存需求。 学习有限单元法意味着掌握自然坐标的建立、插值函数的构造策略以及不同类型单元的特点，同时理解其局限性和优化方向，这对于工程应用中的数值模拟和求解是至关重要的。