机器学习EM算法详解与应用

"这篇资料详细介绍了机器学习中的EM（Expectation-Maximization）算法，包括Jensen不等式的基础知识以及EM算法的推导过程和应用。" 在机器学习领域，EM（Expectation-Maximization）算法是一种常用的方法，尤其在处理含有隐变量的数据时。EM算法通常用于参数估计，其基本思想是通过迭代的方式来逐步优化模型参数。在这个过程中，E步（期望步骤）是计算当前参数下的隐变量的期望值，而M步（最大化步骤）则是根据这些期望值来更新模型参数，以提高似然函数的值。 Jensen不等式是EM算法中的基础工具，它涉及到优化理论和凸函数的概念。若函数f是凸函数，对于随机变量X，有数学期望的Jensen不等式：𝐸,𝑓(𝑋)-≥𝑓(𝐸𝑋)。这意味着函数f在期望值上的应用不会低于其在期望值处的函数值。当f是严格凸函数时，不等式只有在X是常量时才等于号成立。相反，对于凹函数，不等号方向反转。 在EM算法的上下文中，Jensen不等式被用来构造似然函数的下界。由于直接最大化含有隐变量z的似然函数通常是困难的，EM算法采取了一种交替优化的策略。在E步，我们估计每个样本的隐变量z的后验概率分布Q𝑖，这些分布满足概率的归一化条件。Q𝑖可以理解为样本i对隐变量z的软分配，对于连续变量，这可能是概率密度函数。在M步，利用这些估计的期望值，我们可以更新模型参数θ，以最大化似然函数的下界。 以班级聚类为例，如果隐藏变量z表示学生的性别，那么Q𝑖可以是二元分布，表示学生是男性或女性的概率；如果z表示学生的身高，它可能是一个连续的高斯分布。每一步迭代，EM算法都会改进模型对数据的解释，直到达到收敛，即似然函数的提升非常微小或者达到预设的迭代次数。 EM算法提供了一种在存在未观测变量的情况下进行统计推断的有效途径，广泛应用于混合模型、隐马尔科夫模型（HMM）、词性标注、图像分析等多种机器学习和数据挖掘任务中。理解并掌握EM算法对于深入学习机器学习的高级技术至关重要。