C++实现经典牛顿迭代法求解非线性方程组

经典牛顿迭代法是一种在数值计算中广泛应用的算法，主要用于求解非线性方程组。在C++编程中，它被用来通过迭代过程逐步逼近方程的根，直到达到预设的精度标准。该代码片段展示了如何实现这一方法的基本步骤： 1. 定义所需变量和常量： - `#define N2` 和 `#define Epsilon0` 分别定义了方程组的大小（在这个例子中，是2N）以及一个较小的误差容忍度（0.0001）。 - `Max100` 表示最大迭代次数限制。 - 使用 `std` 命名空间。 2. 函数声明： - `void ff(float xx[N], float yy[N])`：函数接收两个数组参数，`xx` 代表未知数向量，`yy` 代表对应的函数值向量。 - `void ffjacobian(float xx[N], float yy[N][N])`：用于计算函数 `ff` 的雅可比矩阵（Jacobian matrix），表示函数各元素对未知数的偏导数。 - `void inv_jacobian(float yy[N][N], float inv[N][N])`：函数估计雅可比矩阵的逆矩阵，这对于牛顿迭代至关重要。 - `void newton_differential_approximation(float x0[N], float inv[N][N], float y0[N], float x1[N])`：这是牛顿迭代的核心部分，它接收初始猜测 `x0`、雅可比矩阵的逆 `inv`、函数值 `y0` 和上一次迭代的结果 `x1`，并更新 `x0` 为更接近真实解的新值。 3. 主函数 `main()`： - 初始化变量：如 `float x0[N]` 代表初始猜测，`float y0[N]` 存储函数值，`jacobian[N][N]` 和 `invjacobian[N][N]` 用于存储雅可比矩阵及其逆，`x1[N]` 存放当前迭代结果，`errornorm` 记录误差。 - 读入初始值 `x0`（这里假设已知）并输出。 - 使用 `do-while` 循环进行迭代，每次循环： - 计算当前迭代次数 `iter`。 - 检查误差是否小于 `Epsilon`，若满足则停止迭代。 - 调用各个函数：`ff(x0, y0)` 计算函数值，`ffjacobian(x0, jacobian)` 计算雅可比矩阵，`inv_jacobian(jacobian, invjacobian)` 计算雅可比矩阵的逆，`newton_differential_approximation(x0, invjacobian, y0, x1)` 更新迭代结果。 - 计算并输出当前迭代的误差。 - 将当前迭代结果 `x1` 作为下一轮迭代的 `x0`。 4. 函数 `ff()`： - 输入向量 `xx` 的第一个元素 `x` 作为函数 `ff` 的输入，计算函数值 `y`。 通过这段代码，我们可以看到如何使用经典牛顿迭代法解决非线性方程组问题，包括计算函数值、雅可比矩阵及其逆，并根据这些信息更新迭代解，直到达到预设的精度。这种迭代方法在优化问题、机器学习中的梯度下降等场景中非常常见。