计算2的幂次方分解整数的唯一分解方法数

整数的特殊划分是一个经典的数学和编程问题，要求我们计算给定正整数N如何将其分解成一系列2的幂次之和，即\( N = \sum_{k=0}^{K} 2^k \)，其中\( K \geq 0 \)且\( 2^k \)为整数因子。问题的关键在于确定有多少种不同的分解方式。 在编程实现中，这段C代码提供了算法来解决这个问题。它采用了递归和动态规划的方法。首先，定义了一个二维数组`r`和`b`，用于记录每个分解状态的计数（`r`）和上一次出现的位置（`b`）。数组`num`包含了2的幂次。 函数`ok`是一个核心递归函数，接收两个参数：当前剩余的数`n`和当前正在处理的最大2的幂次`mm`。递归终止条件包括当`n`为1或0时，表示已经找到一种分解方式，计数器`t`加一。如果`n`大于`num[mm]`，说明不能进一步分解，退回到上一级`mm`。否则，将`n`减去`num[mm]`得到`next`，并检查是否已经处理过该情况。如果没有，则初始化计数`b[mm][next]`为当前的计数`t`，然后递归地处理`next`，并更新计数。 函数`fun`则用于计算所有可能的分解组合数，通过遍历所有可能的2的幂次，并累加对应位置的计数`r[i][next]`，但需要注意溢出问题，所以返回值取模`st`（1000000000）。 在`main`函数中，首先读入输入的整数`n`，然后根据其大小调用`ok`和`fun`函数，最后输出结果。当`n`为1时，只有一个解，直接输出1；当`n`在1到10000之间时，进行完整的分解计算并输出结果。 总结起来，这段代码利用了动态规划的思想，通过递归寻找所有可能的2的幂次分解组合，并计算它们的数量。这对于解决此类整数特殊划分问题非常有效，尤其是在处理较大的数值范围时。