线性空间的维数、基底与坐标解析

在计算机科学和数学中，向量和向量组是线性代数的基础概念，它们在图形学、机器学习、数据处理等领域发挥着至关重要的作用。第08讲的主题是“维数、基底与坐标”，这涉及到线性空间、线性相关性、张成空间以及基底变换等多个核心概念。 首先，向量可以被看作是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。向量组则是一组向量的集合，它们可以共同描述一个更复杂的结构。当这些向量线性无关时，即没有任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合，这样的向量组就具有更强的性质。 线性空间（也称为向量空间）是由向量和标量（通常是实数）构成的集合，它遵循加法和标量乘法的规则。在这个空间中，所有向量都可以通过线性组合其他向量来表示。向量空间的子空间是由向量空间中的一些向量组成的，它自身也是一个线性空间，满足子空间的封闭性条件：子空间内的向量加法和标量乘积结果仍属于该子空间。 线性相关性是判断向量组是否具有简洁表示的关键标准。如果一个向量组中存在至少一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么这个向量组就是线性相关的。反之，如果不存在这样的表示，则称向量组线性无关。 空间的张成是所有可能的线性组合构成的集合，也就是说，所有可能的向量可以用基向量的线性组合来表示。例如，在𝑛维线性空间𝑉𝑛中，每个向量𝑎都可以唯一地表示为基向量𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛的线性组合，形式为𝑎 = 𝑥1𝑎1 + 𝑥2𝑎2 + ... + 𝑥𝑛𝑎𝑛，其中𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛是实数。 维数是线性空间的一个重要属性，它刻画了线性空间中独立向量的最大数量。在上述定义中，如果存在𝑛个线性无关的向量，且空间中的任何向量都可以由这𝑛个向量线性表示，那么这个空间的维数就是𝑛。这样的空间被称为𝑛维线性空间，常见的如二维欧几里得空间𝑉2（又称平面）和三维欧几里得空间𝑉3（又称空间）。 基底是一组特定的线性无关向量，它们能够“支撑”整个空间，也就是说，空间中的任何向量都能用基底向量的线性组合来表示，并且这种表示是唯一的。构成基底的条件就是基向量必须线性无关，并且能张成整个空间。 基底变换是指从一个基到另一个基的转换过程。在不同的基下，同一个向量会有不同的坐标表示。例如，当我们改变基底时，原本向量𝑎的坐标(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛)会转换成新的坐标，这个转换可以通过基变换矩阵来实现，该矩阵的列由新旧基之间的坐标关系决定。 维数、基底与坐标是线性代数中的核心概念，它们帮助我们理解和操作抽象的数学空间，特别是在计算机科学中，这些概念在解决复杂问题和进行高效计算时起着不可或缺的作用。理解这些概念对于深入学习计算机图形学、数据分析和算法设计等领域的知识至关重要。