实数大向量的BDD表示：理论上限与线性函数近似

本文探讨了在实际计算中，特别是在处理大规模线性方程组和大向量问题时，如何有效地利用二元决策图（BDDs）来表示和处理实数。传统的存储方法，如显式表示大量实数，会消耗巨大的存储空间，尤其是在处理n维向量时，当n达到10^8级别时，所需的存储容量可能高达数千万GB。这种显式存储方式对于解决线性方程和存储解向量来说，显得极为不经济。 作者指出，实际的矩阵往往具有内在结构，而不是通常意义上的稀疏矩阵，这使得决策图技术如BDDs成为可能。BDDs通过递归分解和压缩，能够利用这种结构减少存储需求。即使解向量的大部分分量都是不同的，但通过观察到解向量可能存在的内部模式，例如量子理论中的乘积形式或几何衰减特性，我们可以设计算法来提取和表示这些规律，从而降低存储复杂度。 文章还提到了可靠性问题，特别是在需要高精度计算的情况下，单个数值的存储要求远超IEEE双精度格式的8字节。例如，在希尔伯特矩阵的求解过程中，即使是n=250这样的规模，中间结果也可能导致每个数字占用1KB的内存，对于整个矩阵则可能达到60MB的存储量。因此，作者建议使用BDDs来表示实数，以实现近似线性函数的高效存储和计算，从而为处理大向量问题提供一种有效的解决方案。 通过理论分析和实践示例，这篇文章强调了BDDs在处理具有内部结构的实数数据方面的潜力，对于节省存储空间和优化计算效率具有重要意义。这对于现代计算机科学和工程领域，尤其是在大数据和高性能计算方面，提供了有价值的新思路和技术支持。