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稀疏信号的恢复
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所确定. 因此, 人们考虑通过刻画矩阵 Φ 的零空间, 从而给出 P
1
解与 P
0
解一致的充
要条件. 我们首先介绍零空间性质的定义. 为描述方便, 我们介绍如下符号: 对于指标集
T ⊂ {1, . . . , N} 及向量 v ∈ R
N
, 我们将 v 中指标在 T 中的元素取出, 形成一个新的向量,
标记为 v
T
∈ R
#T
. 我们用 T
c
表示 T 的补集. 类似的, 我们可定义矩阵 Φ
T
.
定义 2.1 我们称矩阵 Φ 满足 s-阶零空间性质, 如果对任意的 v ∈ Ker Φ, 均有
∥v
T
∥
1
< ∥v
T
c
∥
1
, 对任意的 T ⊂ {1, . . . , N}, #T = s.
直观上, 我们将零空间性质理解为 Ker Φ 的非 0 元素较为均匀的分布, 不会明显的集中于
某 s 个元素上. 采用零空间性质, 我们有
定理 2.2 我们选择解码为 ∆
1
. 那么, 对任意的 x ∈ Σ
s
,
∆
1
(Φx) = x
如果和仅仅如果 Φ 满足 s-阶零空间性质.
注 2.1 用类似于零空间性质的方式, 描述 ∆
1
解码可恢复 s-稀疏信号, 在人们研究
L
1
最佳逼近时就已经出现 (参考 [33]). 与定理 2.2 一致的形式首先出现在 [23]. 此外, 文
[18, 19] 也隐含了类似的结果.
虽然可以用零空间性质给出 P
1
的解与 P
0
的解一致的充要条件. 但是, 零空间性质并
不容易操作, 无论在理论还是计算方面. 也就是说, 给一个矩阵 Φ, 难以从理论上证明其是
否满足零空间性质, 也不容易在计算机上快速验证. 因而, 人们考虑了另外一种刻画方式,
即是所谓的矩阵 RIP 性质 (Restricted Isometry Property).
我们首先介绍 RIP 性质的定义 [9]. 我们说矩阵 Φ 满足 s-阶 RIP 性质, 如果存在常数
δ
s
∈ [0, 1) 使得
(1 −δ
s
)∥x∥
2
≤ ∥Φx∥
2
≤ (1 + δ
s
)∥x∥
2
(2)
对任意的 x ∈ Σ
s
成立. 实际上, (2) 等价于 Grammian 矩阵 Φ
⊤
T
Φ
T
所有特征值位于区间
[1 −δ
s
, 1 + δ
s
], 这里 #T ≤ s. 我们称 δ
s
为 RIP 常数.
我们首先看一下如何从直观上理解 RIP 矩阵. 倘若 δ
s
= 0 , 那么矩阵 Φ 为一标准正交
矩阵. 因而也是一方阵. 然而在压缩感知中, 我们希望矩阵 Φ 是“扁” 的, 也就是 n < N , 同
时保留类似于正交矩阵的特征. 因而, RIP 矩阵的定义 (2), 事实上刻画了矩阵 Φ 中任取 s
列所形成的 n ×s 矩阵接近于正交矩阵的程度. RIP 常数 δ
s
越接近于 0, 其任取 s 列所形成
的子矩阵也就越接近于正交. 从某种意义上来说, 性质也就越好.
下面定理给出了解码 ∆
1
能够精确恢复 s-稀疏信号的一个充分条件.