图数据结构详解：从哥尼斯堡七桥问题到生成树

"数据结构——图" 数据结构中的图是一种重要的抽象概念，它用来表示对象之间的关系或连接。图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，可以用来建模现实世界中的复杂网络，如社交网络、交通网络、计算机网络等。在图中，顶点代表实体，边代表实体之间的关系。 1. **基本术语**： - 图（Graph）由顶点集合V和边集合E构成，记为G=(V,E)。V是有限且非空的，E是有限的。 - 如果E为空，这样的图被称为无边图，仍然存在，只是没有边连接顶点。 - 有向图（Directed Graph）的边具有方向，边(u, v)由始点u（弧尾）指向终点v（弧头）。 - 无向图（Undirected Graph）的边没有方向，任何两个顶点间的一条边等价于两条反向的有向边。 - 完全图（Complete Graph）是每个顶点与其他所有顶点都有边相连的图。无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边。 2. **存储结构**： - 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：用二维数组表示，矩阵的行和列对应图中的顶点，如果两个顶点之间有边，则矩阵对应位置的值为1（有向图中，可能会是其他非零值，表示边的权重）。 - 邻接表（Adjacency List）：为每个顶点维护一个链表，链表中包含与其相邻的所有顶点。 3. **图的遍历**： - 深度优先搜索（DFS）：从一个顶点开始，沿着边尽可能深地探索图的分支，直到回溯到没有未访问过的邻接点。 - 广度优先搜索（BFS）：从一个顶点开始，先访问其所有邻接点，再访问邻接点的邻接点，直到所有顶点都被访问。 4. **图的连通性**： - 连通图（Connected Graph）：在无向图中，任意两个顶点之间都存在路径。 - 非连通图的极大连通子图叫做连通分量（Connected Component）。 - 强连通图（Strongly Connected Graph）：在有向图中，对任意两个顶点，都存在从一个顶点到另一个顶点的双向路径。 - 非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量（Strongly Connected Component）。 5. **图的应用**： - 哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的实例，展示了图在解决实际问题中的应用。 - 带权图（Weighted Graph）的边带有特定含义的数值，例如在路由算法、最短路径问题中，权值可以表示距离或成本。 - 生成树（Minimum Spanning Tree）是图的一个极小连通子图，包含所有顶点，且边的权重之和最小，常见的算法有Prim算法和Kruskal算法，用于解决网络设计和优化问题。 了解和掌握图的数据结构及其相关概念，对于解决各种复杂问题至关重要，包括路径查找、网络优化、搜索算法、社会网络分析等领域。