图数据结构详解:从哥尼斯堡七桥问题到生成树
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更新于2024-07-22
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"数据结构——图"
数据结构中的图是一种重要的抽象概念,它用来表示对象之间的关系或连接。图由顶点(Vertex)和边(Edge)组成,可以用来建模现实世界中的复杂网络,如社交网络、交通网络、计算机网络等。在图中,顶点代表实体,边代表实体之间的关系。
1. **基本术语**:
- 图(Graph)由顶点集合V和边集合E构成,记为G=(V,E)。V是有限且非空的,E是有限的。
- 如果E为空,这样的图被称为无边图,仍然存在,只是没有边连接顶点。
- 有向图(Directed Graph)的边具有方向,边(u, v)由始点u(弧尾)指向终点v(弧头)。
- 无向图(Undirected Graph)的边没有方向,任何两个顶点间的一条边等价于两条反向的有向边。
- 完全图(Complete Graph)是每个顶点与其他所有顶点都有边相连的图。无向完全图有n(n-1)/2条边,有向完全图有n(n-1)条边。
2. **存储结构**:
- 邻接矩阵(Adjacency Matrix):用二维数组表示,矩阵的行和列对应图中的顶点,如果两个顶点之间有边,则矩阵对应位置的值为1(有向图中,可能会是其他非零值,表示边的权重)。
- 邻接表(Adjacency List):为每个顶点维护一个链表,链表中包含与其相邻的所有顶点。
3. **图的遍历**:
- 深度优先搜索(DFS):从一个顶点开始,沿着边尽可能深地探索图的分支,直到回溯到没有未访问过的邻接点。
- 广度优先搜索(BFS):从一个顶点开始,先访问其所有邻接点,再访问邻接点的邻接点,直到所有顶点都被访问。
4. **图的连通性**:
- 连通图(Connected Graph):在无向图中,任意两个顶点之间都存在路径。
- 非连通图的极大连通子图叫做连通分量(Connected Component)。
- 强连通图(Strongly Connected Graph):在有向图中,对任意两个顶点,都存在从一个顶点到另一个顶点的双向路径。
- 非强连通图的极大强连通子图叫做强连通分量(Strongly Connected Component)。
5. **图的应用**:
- 哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的实例,展示了图在解决实际问题中的应用。
- 带权图(Weighted Graph)的边带有特定含义的数值,例如在路由算法、最短路径问题中,权值可以表示距离或成本。
- 生成树(Minimum Spanning Tree)是图的一个极小连通子图,包含所有顶点,且边的权重之和最小,常见的算法有Prim算法和Kruskal算法,用于解决网络设计和优化问题。
了解和掌握图的数据结构及其相关概念,对于解决各种复杂问题至关重要,包括路径查找、网络优化、搜索算法、社会网络分析等领域。
2009-12-03 上传
2016-10-30 上传
2019-05-26 上传
2019-02-06 上传
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