模式识别第3章：分类器设计-线性分类器解析

"北京邮电大学的模式识别课程——第03章 分类器的设计，主要探讨了线性分类器、分段线性分类器和非线性分类器的设计方法，特别是聚焦于线性分类器的训练过程。课程中提到了牛顿法的迭代公式用于优化权重向量，并讨论了牛顿法相比于梯度下降法的优缺点。" 在模式识别领域，分类器的设计是至关重要的。本章以线性分类器作为起点，线性分类器的判别函数通常表示为\( g(x) = W^TX \)，其中\( X \)是n维特征向量，而\( W \)是包含n+1个权重的向量。训练线性分类器的过程是有监督的，即利用已知类别的样本来确定权重向量。 在训练过程中，目标是使得每个已知类别的样本点落在正确的类别一侧。例如，对于两个类别，我们希望找到权重向量\( W \)，使得属于类别1的样本\( x_1 \)满足\( W^Tx_1 > 0 \)，而属于类别2的样本\( x_2 \)满足\( W^Tx_2 < 0 \)。这可以通过一系列线性不等式方程组来解决，这些方程对应于每个样本点的分类条件。 以一个简单的二类问题为例，如果我们有四个训练样本\( X_a, X_b, X_c, X_d \)，并已知它们的类别归属，我们可以建立如下的不等式方程组： 1. \( X_a \)属于类别1，\( W^TX_a > 0 \) 2. \( X_b \)属于类别1，\( W^TX_b > 0 \) 3. \( X_c \)属于类别2，\( W^TX_c < 0 \) 4. \( X_d \)属于类别2，\( W^TX_d < 0 \) 通过规范化这些不等式，我们可以得到一个关于权重向量\( W \)的系统方程，从而求解权重向量。 牛顿法在此过程中被提及，它提供了一个迭代公式来寻找权重向量的最优解：\( W_{k+1} = W_k - D^{-1}\nabla J \)，其中\( D \)是Hessian矩阵，\( \nabla J \)是损失函数的梯度。牛顿法的优点是通常比梯度下降法收敛更快，但它需要计算Hessian矩阵的逆，这可能带来较大的计算成本。如果Hessian矩阵是奇异的，牛顿法就无法应用。 这个章节深入探讨了如何构建线性分类器，特别是利用有监督学习和优化算法来确定权重向量。此外，还引入了牛顿法作为优化策略，虽然其效率高，但也存在计算上的挑战。这些概念是理解机器学习和模式识别算法基础的关键。