Java实现快速幂算法解决计算与求逆元问题

"快速幂算法的程序实现和应用案例" 快速幂（Fast Power）是一种在计算大整数乘法时非常高效的算法，特别是在处理模运算时。它的核心思想是利用指数的二进制分解来减少计算次数，将指数表示为二进制形式，然后通过乘方的平方运算逐步求解。这种方法的时间复杂度为O(logN)，比朴素的指数运算方法（O(N)）效率高得多。 在给定的程序中，`qmi` 函数实现了快速幂算法。它接受三个参数：底数 `a`、指数 `b` 和模数 `p`。函数首先初始化结果变量 `res` 为1，然后使用一个 `while` 循环处理指数 `b`。循环内，如果 `b` 的最低位（二进制表示的最后一位）为1，就将 `res` 与 `a` 相乘并取模 `p`，更新 `res`。接着，`b` 右移一位（相当于除以2），`a` 自身平方并取模 `p`。这个过程不断迭代，直到指数 `b` 变为0。最后，将 `res` 转换为整数并返回。 在 `main` 函数中，程序读取输入的测试用例数量 `n`，然后依次处理每组数据。每组数据包括底数 `a`、指数 `b` 和模数 `p`，通过调用 `qmi` 函数计算结果，并打印输出。 例题1展示了快速幂在求解大整数乘法模运算中的应用。给定多组数据，要求计算 `a^b mod p` 的值。程序读取输入，解析每组数据，然后调用 `qmi` 函数计算结果并输出。 例题2则扩展了快速幂的应用，要求计算一个数在模质数下的乘法逆元。乘法逆元是指一个数 `x`，使得 `ax ≡ 1 (mod p)` 成立。这里，`p` 是质数，确保逆元的存在性。同样地，我们可以通过快速幂算法找到这个逆元，但需要进行一些额外的处理。当 `a` 和 `p` 互质时，根据欧几里得算法，我们可以找到一个满足条件的逆元。如果不存在，输出 "impossible"。 在实际编程竞赛或算法问题解决中，快速幂算法是必备的工具，尤其在处理大量数据和大整数运算时，能显著提高计算速度。同时，快速幂也是许多高级算法（如中国剩余定理、扩展欧几里得算法等）的基础。理解并熟练掌握快速幂算法对于提升算法能力至关重要。