高阶几何多重网格法在六面体有限元中的应用研究

资源摘要信息:"homg: 使用六面体有限元的高阶几何多重网格" 本资源涉及的是一个专门针对使用六面体单元的高阶有限元分析的计算机代码包。代码包作为高阶离散化的几何多重网格方法的测试平台，支持不同的平滑技术，以便在有限元分析中解决线性方程组。 在有限元分析中，六面体单元是常用的几何形状，适用于复杂三维几何模型的离散化。六面体单元相对于四面体单元等其他形状，在处理某些类型的问题时能提供更高的计算精度和效率。在高阶有限元方法中，插值函数的阶数比传统的线性或二次插值更高，这允许更好地逼近连续问题的解，尤其是对于复杂或光滑解域。 多重网格方法是一种高效的数值求解技术，特别是用于解决偏微分方程的数值模拟。它通过在不同级别的网格上迭代，有效地处理了不同尺度的问题。多重网格的基本思想是将问题在粗糙的网格上快速消除低频误差，在精细的网格上则能够高效地消除高频误差。这种层次化的迭代过程可以大幅提高计算效率。 在本代码包中，实现支持了设置$h$和$p$层次结构的组合。这里的$h$指的是网格大小的层次化，而$p$指的是多项式插值的阶数的层次化。通过组合这两种层次化策略，可以更灵活地控制计算精度和计算量，以适应不同的问题需求。 在平滑器的选择上，代码包提供了以下几种： 1. 雅可比（Jacobi）迭代：这是一种简单的迭代方法，适用于线性方程组。 2. 切比雪夫加速雅可比（Chebyshev Accelerated Jacobi）：通过利用切比雪夫多项式理论来加速收敛速度。 3. 块雅可比（Block Jacobi）：适用于并行计算，将矩阵分成若干块，对每个块进行独立的雅可比迭代。 4. 对称 SOR（Successive Over-Relaxation）：一种用于线性方程组求解的迭代方法，特别适用于对称正定矩阵。 此外，代码包中的基本用法示例展示了如何在一个简单的二维问题中创建扭曲网格的层次结构。通过指定系数函数（如例子中的$\mu(x,y)$）并创建网格层次结构，用户可以构建起符合问题需求的网格模型。 文件名称“homg-master”表明这是一个主版本或主分支的代码包，用户可以期望在此目录下找到完整的源代码、文档、示例以及构建和运行说明等。 需要注意的是，为了更深入理解该代码包的实现细节、性能评估和不同方法的比较，可以参考Hari Sundar、Georg Stadler、George Biros等作者的论文，题目为“Numerical Linear Algebra Applications”，发表在相应的期刊上，并提供了一个DOI编号供检索。论文中详细描述了该方法的理论背景、算法细节以及与其它方法的比较结果，是深入理解和使用该代码包的重要参考文献。