数值积分与数值微分：从牛顿-柯特斯公式到高斯型求积

"该资源是关于数值积分与数值微分的教材章节，主要涵盖了数值求积的必要性、牛顿-柯特斯公式、龙贝格算法、高斯型求积公式以及数值微分等内容。" 在数值计算领域，数值积分与数值微分是不可或缺的技术，尤其在处理实际工程和科研问题时，由于函数复杂性或缺乏解析表达式，往往需要采用近似方法来求解积分问题。第6章“数值积分与数值微分New”深入探讨了这一主题。 首先，章节指出数值求积的必要性，特别是在面对无法求出原函数或者原函数表达复杂的函数时，需要寻找近似计算积分的方法。这不仅是解决实际问题的需求，也是数值解微分方程和积分方程的基础。 接着，介绍了构造数值求积公式的基本方法，通常采用插值多项式。通过在积分区间[a, b]选取n个点，并构建n次插值多项式L_n(x)来逼近被积函数f(x)。公式(1.1)展示了如何将插值多项式用于积分近似，即利用L_n(x)的积分来估计f(x)的积分。 牛顿-柯特斯公式是数值积分的一种经典方法，它基于节点点上的函数值和导数值来构造插值多项式。通过求解插值多项式的系数，得到数值求积公式(1.2)，即节点权重A_k，使得积分可以被近似为f(x)在这些节点上的加权和。 随后，章节提到了龙贝格算法，这是一种递归的高精度数值积分方法，通过不断增加内节点来提高积分精度，适用于较宽的积分区间。 高斯型求积公式则是另一种高效的方法，它基于特定的节点（如 Legendre-Gauss 节点）和对应的权重，能够提供较高的代数精度，即在适当数量的节点上能精确积分多项式函数。 最后，章节还讨论了数值微分，这是求函数导数的一种近似方法，当函数的导数无法直接计算或者函数本身不连续时特别有用。数值微分通常涉及到有限差分技术，通过计算函数在相邻点的差值来估算导数值。 该章节详细阐述了数值积分与数值微分的基本理论和常用算法，为实际问题的数值求解提供了有力工具。