动态规划解数字三角形：优化递归避免重复计算

"这篇资源是关于程序分析的，特别是动态规划的基础讲解，主要讨论了解决数字三角形问题的策略。动态规划是一种优化方法，通过存储和重用子问题的解决方案来避免重复计算，从而提高效率。文章以一个具体的ACM题目——数字三角形为例，讲述了如何运用动态规划来寻找路径和的最大值。" 在动态规划中，关键在于识别并存储子问题的解，以便后续使用，而不是每次都重新计算。在这个数字三角形问题中，目标是找到从顶点到底部的路径，使得路径上的数字之和最大。每一步只能向下走到相邻的左边或右边的数字。 解题思路分为以下几个步骤： 1. 定义状态：设`D(r, j)`表示到达第`r`行第`j`列的数字时，路径上的数字之和。我们需要求解的是`MaxSum(1, 1)`，即从第一行第一列开始到底部的最佳路径和。 2. 递归关系：从`D(r, j)`出发，有两种可能的移动方向，即`D(r+1, j)`和`D(r+1, j+1)`。对应的`MaxSum(r, j)`分别为`MaxSum(r+1, j) + D[r][j]`和`MaxSum(r+1, j+1) + D[r][j]`。因此，选择路径取决于这两个和哪个更大。 3. 存储解决方案：为了避免重复计算，使用二维数组`aMaxSum[N][N]`来存储每个`MaxSum(r, j)`的值。一旦计算出一个`MaxSum(r, j)`，就将其存入数组，后续需要时直接读取，而不是再次进行递归计算。 4. 主程序：首先读取输入的数字三角形，然后使用递归函数`MaxSum`计算最佳路径和。在C语言的实现中，`MaxSum`函数会根据递归关系计算`MaxSum(r, j)`，而`main`函数负责输入处理和最终结果的输出。 5. 示例代码：给出的参考程序使用了递归方法，但这种方法效率较低，因为它会导致大量的重复计算。在实际应用中，通常会采用迭代的方式实现动态规划，以提高性能。迭代方法会从底部向上，逐层计算`MaxSum`，利用数组`aMaxSum`存储中间结果，避免了重复计算。 通过动态规划，我们可以有效地解决这类问题，将时间复杂度从最初的指数级降低到线性或接近线性的水平，提高了算法的效率。这个例子展示了动态规划在优化问题求解中的重要作用，尤其是在处理具有重叠子问题和最优子结构的问题时。