卡尔曼滤波：递归方法解决线性滤波的关键

卡尔曼滤波是一种经典的数字信号处理技术，最初由Rudolf E. Kalman于1960年提出，用于解决离散数据线性滤波问题。该方法利用递归算法，结合系统的动态模型和观测数据，高效地估计并最小化过程状态估计的均方误差。在卡尔曼滤波器中，主要涉及两个关键环节： 1. **系统动态模型**：通过一个离散随机差分方程（1.1）描述过程信号 \( x_k \) 的状态变化，其中 \( x_k \in \mathbb{R}^n \)，\( A \) 是状态转移矩阵，\( B \) 是输入矩阵，\( u_k \) 是控制输入，而 \( w_k \) 是过程噪声，假设它与观测噪声 \( v_k \) 独立。 2. **观测模型**：观测变量 \( z_k \in \mathbb{R}^m \) 由状态 \( x_k \) 通过矩阵 \( H \) 转换得到，再加上观测噪声 \( v_k \)。这两个噪声通常假设为独立同分布的随机变量。 卡尔曼滤波的核心是卡尔曼滤波算法，包括预测步骤（预测未来状态的期望值和方差）和更新步骤（根据观测数据调整预测）。预测步骤使用状态转移方程，更新步骤则利用观测模型和测量数据来优化状态估计。这种方法不仅适用于当前状态的估计，还能通过递归计算对过去和未来状态进行推测，即使对系统模型的细节不完全了解。 卡尔曼滤波的应用广泛，尤其在自主导航、机器人技术、航空航天、控制系统、信号处理等领域。由于其强大的估计能力和鲁棒性，它已经成为现代许多工程系统中的标准工具。后续的研究发展了扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF），它允许处理非线性系统，通过线性化处理进行近似估计。 卡尔曼滤波是一个强大的数学工具，它革新了对动态系统状态估计的方法，是现代信息技术和控制工程领域的基石。随着计算机技术的发展，卡尔曼滤波器的设计和实现变得更加便捷，为众多实际问题提供了有效的解决方案。