多值随机微分方程大偏差分析解法

"受小参数扰动下多值随机微分方程的大偏差问题的分析解法" 在概率论和随机过程理论中，大偏差原理（Large Deviation Principle, LDP）是一种描述随机现象远离平均行为的概率渐近行为的理论。它在统计物理、金融工程、信息理论等领域有着广泛的应用。本文主要研究的是在小参数扰动下的多值随机微分方程（Multi-valued Stochastic Differential Equations, MSDEs）的大偏差问题。 多值随机微分方程是一种比经典单值随机微分方程更为复杂的模型，它可以描述存在多种可能路径的系统动态。在实际应用中，这类方程常出现在非线性动力学、优化问题以及某些随机控制问题中。小参数扰动通常指的是系统中存在一个趋于零的参数，这使得系统的动态行为在微小扰动下发生显著变化。 作者任佳刚和巫静来自中山大学数学学院，他们利用了二阶非线性哈密顿-雅可比-贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman, HJB）方程的粘性解理论来处理这个问题。HJB方程是控制理论中的核心工具，用于求解最优控制问题。在多值算子的框架下，二阶HJB方程的粘性解理论提供了一种处理非局部和不连续问题的方法。 文章首先对多值随机微分方程的解进行了指数胎紧估计，这是证明大偏差原理的基础。指数胎紧性是指随机变量序列在概率上的紧致性，它对于理解和描述随机过程的极限行为至关重要。接下来，作者们对与MSDEs对应的二阶HJB方程的粘性解给出了稳定性结果，这有助于建立解的存在性和唯一性。 通过结合马尔科夫性质，作者们证明了关于初始值和时间一致的大偏差原理。这意味着对于这一类随机系统，当小参数趋于零时，系统偏离其平均行为的概率会以指数形式快速下降，具体地，可以通过一个速率函数来量化这种下降的速度。速率函数提供了系统偏离期望行为的代价，是大偏差理论的核心。 这项工作为理解和分析多值随机微分方程的大偏差行为提供了新的解析方法，对于深入研究复杂随机系统的行为，尤其是那些受到微小随机扰动影响的系统，具有重要的理论价值和实际意义。