信号与系统复习题详解：线性与稳定性分析

信号与系统是信息技术领域中的核心概念，涉及信号的特性分析、处理以及系统行为的理解。本复习资料涵盖了多个重要的知识点，对于理解和掌握信号处理的基础理论至关重要。 1. 线性与非线性系统：系统满足y(t) = 4e^(-3t)f(t)的特性表明它是线性系统，因为线性系统在输入信号相加或乘以常数时，输出也相应地按相同规则变化。这里没有提及稳定性，但通常线性系统可以进一步分析其稳定性，例如通过传递函数或零极点图来判断。 2. 频谱分析：连续时间信号的频谱性质与其周期性和离散性有关。非周期连续信号的频谱是连续的，而非周期的；周期连续信号有离散频率成分。同样，离散时间信号的频谱根据周期性有所不同：非周期信号有连续且周期的频谱，而周期信号则为离散且周期的。 3. 采样定理：信号f(t)的频带为0-10kHz，若要不失真恢复原信号，采样频率需至少为信号最高频率的两倍，即fs > 20kHz。题目给出的5×10^-5s是能恢复最大采样周期的最小值，不是采样频率，所以计算出的实际采样频率会更高。 4. 信号分类：f(t) = Sa2(100t)是能量信号，因为它在整个定义域内的积分平方可得到有限值，表示其能量是有限的。而f(t) = 2 + cos(t)是功率信号，因为其平均功率在有限时间内为常数。 5. 取样序列分析：连续信号sint的离散取样序列f(k) = sin(k)，不是周期序列，因为离散时间函数的周期性依赖于取样频率，而这里fs = 1Hz远低于原信号的周期。 6. 傅立叶级数与信号表示：周期信号sin(nπ/2)j2nπt的周期为1s，直流分量π/2，包含5Hz的正弦和余弦分量，幅值分别为2/5。对于给定的傅立叶级数系数，信号f(t)的时域表达式可以写作5 + 6cos(60πt) - 4sin(100πt)。 7. 实数序列的傅立叶变换：实数序列的傅立叶级数有对称性，F5(n)与F5(-n)对应同一频率成分，只是相位相反。利用已知的几个系数，可以推导出其他系数，进而写出完整的傅立叶展开式。 8. 离散序列周期与冲激响应：离散序列ej0.3k没有明确的周期，因为单位圆上的点不形成周期序列。而cos(0.3πk)的周期为20，这是因为π/0.3 = 20。系统y(t)的冲激响应h(t)由系统的卷积特性决定，这里h(t)等于输入函数的逆拉普拉斯变换。 9. 最后，涉及的是系统函数的定义和冲激响应的计算，这反映了系统对输入信号的响应特性，是理解控制系统的重要组成部分。 总结来说，这份复习资料覆盖了信号的线性与非线性特性、频谱分析、采样理论、信号分类、离散时间信号处理、傅立叶级数的应用、周期序列分析以及系统函数和冲激响应的计算等多个关键知识点，对于准备信号与系统相关的考试或深入研究都有着重要作用。