中国大学MOOC通信网综合习题详解：泊松分布与平均呼叫数计算

"《通信网综合习题讲解》是一份针对通信网络理论基础知识的学习资料，尤其关注于期末考试试题的分析。这份文档由中国大学MOOC提供，涵盖了多个课程的相关内容，重点讨论了通信网中的概率统计问题，具体涉及到泊松分布的应用。泊松分布是一种描述在固定时间间隔内随机事件发生次数的概率模型，其特点是事件的发生率（λ）是常数，且各次事件之间相互独立。 在给出的例题中，题目指出在参数t下，一个随机变量Nt，表示0到t时间内到达的呼叫数k，满足Nt符合泊松分布，即Nt ~ Poisson(λkt^k/k!)，其中k是呼叫次数，λ是平均呼叫率。题目要求计算在给定条件下，平均呼叫数E(Nt)。利用泊松分布的期望公式，我们有： E(Nt) = ∑ k=1 to ∞ k * p(k|λt) = ∑ k=1 to ∞ k * λt^k/k! * e^(-λt) 这个公式简化后可得： E(Nt) = λt * ∫ k=1 to ∞ (k-1)! * λt^(k-1) * e^(-λt) dk = λt * ∫ k=1 to ∞ λt^(k-1) * e^(-λt) d(k-1) = λt * ∫ (k-1)! * λt^k * e^(-λt) / λt dk = λt * ∫ (k-1)! * λt^k * e^(-λt) dk 由于∫ (k-1)! * λt^k * e^(-λt) 是e^(-λt)关于k的泰勒展开式，即(λt)^k/k!，所以最终结果就是： E(Nt) = λt * e^(-λt) * ∑ k=1 to ∞ (λt)^k/k! = λt * e^(-λt) * [1 - (λt)^k/k!] as k approaches infinity = λt 因此，平均呼叫数E(Nt)等于λt，选项A是正确答案。这体现了泊松分布的实际应用，以及理解通信网络中随机事件的概率分布对于解决实际问题的重要性。通过这份习题讲解，学生可以深化对通信网理论的理解，并提高解题技巧。"