数学手册第5版：权威指南

数学手册

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"Handbook of Mathematics, 5th edition 是一本由I.N. Bronshtein、K.A. Semendyayev、Gerhard Musiol和Heiner Mühlig合作编写的数学手册，由Springer出版社于2007年10月11日出版。这本书共有1208页，定价为USD 89.95，采用平装本的形式，ISBN号为9783540721215。它基于2005年的第六版‘Taschenbuch der Mathematik’进行编写，并包含745幅插图和142张表格。" 《Handbook of Mathematics, 5th edition》是一本广泛涵盖数学各个领域的参考书，适合学生、教师以及专业人士使用。由于其由多位经验丰富的数学家共同编纂，因此内容权威且全面。该书的特点是深入浅出地解释了复杂的数学概念，同时配以大量图表，使得读者能够直观理解抽象的数学思想。该书的内容可能包括但不限于以下部分： 1. **基础数学**：包括算术、代数基础知识，如整数、有理数、实数、复数，以及基本的代数运算和方程解法。 2. **几何学**：涵盖平面几何和立体几何，讨论点、线、面的关系，以及几何图形的性质和变换。 3. **微积分**：介绍极限、导数、积分的基本概念，以及微积分在实际问题中的应用，如优化问题和曲线的性质分析。 4. **线性代数**：涉及矩阵理论、向量空间、线性变换、特征值和特征向量，以及线性方程组的解法。 5. **概率与统计**：讲解概率论的基础，如概率分布、随机变量、条件概率，以及统计推断的基本方法。 6. **函数与序列**：讨论各种类型的函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）和序列的性质，以及极限定理。 7. **数论**：探索整数的性质，如素数、同余、模运算，以及密码学中的应用。 8. **离散数学**：包括图论、组合数学和逻辑推理，这些都是计算机科学和信息科学的基础。 9. **数学分析**：深入研究连续性、一致性和微积分的高级主题，如黎曼积分、多元微积分和泛函分析。 10. **数学方法**：介绍数学建模和求解问题的策略，如微分方程、偏微分方程和数值分析。每一章都可能包含实例、习题和解答，旨在帮助读者巩固理解和提高应用能力。作为一本详尽的数学工具书，它不仅适合查阅特定数学概念，也适合作为数学学习的辅助资料，对于提高读者的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。

资源详情

资源推荐

XVI

Contents

4.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

4.2.2 Rules of Calculation for Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

4.2.3 Evaluation of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

4.3 Tensors . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.3.1 Transformation of Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.3.2 Tensors in Cartesian Co ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.3.3 Tensors with Special Prop erties . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4.3.3.1 Tensors of Rank 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4.3.3.2 InvariantTensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

4.3.4 Tensors in Curvilinear Co ordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

4.3.4.1 Covariant and Contravariant Basis Vectors . . . . . . . . . . . . . 266

4.3.4.2 Covariant and Contravariant Coordinates of Tensors of Rank 1 . . 266

4.3.4.3 Covariant, Contravariant and Mixed Coordinates of Tensors of Rank

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

4.3.4.4 Rules of Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4.3.5 Pseudotensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4.3.5.1 Symmetry with Resp ect to the Origin . . . . . . . . . . . . . . . . 269

4.3.5.2 Introduction to the Notion of Pseudotensors . . . . . . . . . . . . 270

4.4 Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.4.1 Linear Systems, Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.4.1.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.4.1.2 Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

4.4.1.3 Linear Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.4.1.4 Calculation of the Inverse of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.4.2 Solution of Systems of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.4.2.1 Denition and Solvability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

4.4.2.2 Application of Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4.4.2.3 Cramer's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

4.4.2.4 Gauss's Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.4.3 Overdetermined Linear Equation Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

4.4.3.1 Overdetermined Linear Systems of Equations and Linear Mean Square

Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

4.4.3.2 Suggestions for Numerical Solutions of Mean Square Value Problems 278

4.5 Eigenvalue Problems for Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4.5.1 General Eigenv

alue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4.5.2 Special Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4.5.2.1 Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

4.5.2.2 Real Symmetric Matrices, SimilarityTransformations . . . . . . . 280

4.5.2.3 Transformation of Principal Axes of Quadratic Forms

. . . . . . . 281

4.5.2.4 Suggestions for the Numerical Calculations of Eigenvalues . . . . . 283

4.5.3 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5 Algebra and Discrete Mathematics 286

5.1 Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5.1.1 Propositional Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

5.1.2 Formulas in Predicate Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

5.2 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5.2.1 Concept of Set, Special Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

5.2.2 Operations with Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.2.3 Relations and Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

5.2.4 Equivalence and Order Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.2.5 CardinalityofSets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

Contents

XVII

5.3 Classical Algebraic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.3.1 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.3.2 Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . 299

5.3.3 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.3.3.1 Denition and Basic Prop erties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.3.3.2 Subgroups and Direct Pro ducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.3.3.3 Mappings Between Groups . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

5.3.4 Group Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.3.4.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.3.4.2 Particular Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.3.4.3 Direct Sum of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.3.4.4 Direct Product of Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

5.3.4.5 Reducible and Irreducible Representations . . . . . . . . . . . . . 305

5.3.4.6 Schur's Lemma 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

5.3.4.7 Clebsch{Gordan Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

5.3.4.8 Irreducible Representations of the Symmetric Group

. . . . . . 306

5.3.5 Applications of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

5.3.5.1 Symmetry Op erations, Symmetry Elements . . . . . . . . . . . . . 307

5.3.5.2 Symmetry Groups or Point Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

5.3.5.3 Symmetry Op erations with Molecules . . . . . . . . . . . . . . . . 308

5.3.5.4 Symmetry Groups in Crystallography . . . . . . . . . . . . . . . . 310

5.3.5.5 Symmetry Groups in Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . 312

5.3.5.6 Further Applications of Group Theory in Physics . . . . . . . . . . 312

5.3.6 Rings and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.3.6.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.3.6.2 Subrings, Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

5.3.6.3 Homomorphism, Isomorphism, Homomorphism Theorem . . . . . 314

5.3.6.4 Finite Fields and Shift Registers . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 314

5.3.7 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

5.3.7.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

5.3.7.2 Linear Dependence . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 317

5.3.7.3 Linear Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3.7.4 Subspaces, Dimension Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3.7.5 Euclidean Vector Spaces, Euclidean Norm . . . . . . . . . . . . . . 318

5.3.7.6 Linear Operators in Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

5.4 Elementary Number Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

5.4.1 Divisibility. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

5.4.1.1 Divisibility and Elementary Divisibility Rules . . . . . . . . . . . . 320

5.4.1.2 Prime Numb ers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

5.4.1.3 Criteria for Divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

5.4.1.4 Greatest Common Divisor and Least Common Multiple . . . . . . 323

5.4.1.5 Fibonacci Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

5.4.2 Linear Diophantine Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

5.4.3 Congruences and Residue Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

5.4.4 Theorems of Fermat, Euler, and Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

5.4.5 Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 331

5.5 Cryptology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

5.5.1 Problem of Cryptology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

5.5.2 Cryptosystems . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

5.5.3 Mathematical Foundation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

5.5.4 Security of Cryptosystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

5.5.4.1 Methods of Conventional Cryptography . . . . . . . . . . . .

. . . 335

XVII I

Contents

5.5.4.2 Linear Substitution Ciphers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

5.5.4.3 Vigenere Cipher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

5.5.4.4 Matrix Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

5.5.5 Methods of Classical Cryptanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

5.5.5.1 Statistical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

5.5.5.2 Kasiski{Friedman Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

5.5.6 One-Time Pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

5.5.7 Public Key Metho ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

5.5.7.1 Die{Hellman Key Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

5.5.7.2 One-WayFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

5.5.7.3 RSA Metho d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

5.5.8 AES Algorithm (Advanced Encryption Standard) . . . . . . . . . . . . . . . 339

5.5.9 IDEA Algorithm (International Data Encryption Algorithm) . . . . . . . . 340

5.6 Universal Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

5.6.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

5.6.2 Congruence Relations, Factor Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

5.6.3 Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.6.4 Homomorphism Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.6.5 Varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.6.6 Term Algebras, Free Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

5.7 Boolean Algebras and Switch Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

5.7.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

5.7.2 Duality Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

5.7.3 Finite Boolean Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

5.7.4 Boolean Algebras as Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

5.7.5 Boolean Functions, Boolean Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

5.7.6 Normal Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

5.7.7 Switch Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

5.8 Algorithms of Graph Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

5.8.1 Basic Notions and Notation . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 348

5.8.2 Traverse of Undirected Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

5.8.2.1 Edge Sequences or Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

5.8.2.2 Euler Trails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 352

5.8.2.3 Hamiltonian Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

5.8.3 Trees and Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.8.3.1 Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

5.8.3.2 Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.8.4 Matchings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

5.8.5 Planar Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

5.8.6 Paths in Directed Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

5.8.7 Transp ort Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

5.9 Fuzzy Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

5.9.1 Basic Notions of Fuzzy Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

5.9.1.1 Interpretation of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

5.9.1.2 Membership Functions on the Real Line . . . . . . . . . . . . . . . 361

5.9.1.3 Fuzzy Sets

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

5.9.2 Aggregation of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

5.9.2.1 Concepts for Aggregation of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . . . . . 365

5.9.2.2 Practical Aggregator Operations of Fuzzy Sets . . . . . . . . . . . 366

5.9.2.3 Compensatory Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.9.2.4 Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

5.9.2.5 Fuzzy Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Contents

XIX

5.9.3 Fuzzy-Valued Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

5.9.3.1 Fuzzy Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

5.9.3.2 Fuzzy Pro duct Relation



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

5.9.4 Fuzzy Inference (Approximate Reasoning) . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 372

5.9.5 Defuzzication Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

5.9.6 Knowledge-Based Fuzzy Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

5.9.6.1 Method of Mamdani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 374

5.9.6.2 Method of Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

5.9.6.3 Cognitive Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

5.9.6.4 Knowledge-Based Interp olation Systems . . . . . . . . . . . . . . 377

6 Dierentiation 379

6.1 Dierentiation of Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

6.1.1 Dierential Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

6.1.2 Rules of Dierentiation for Functions of One Variable . . . . . . . . . . . . . 380

6.1.2.1 Derivatives of the Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . 380

6.1.2.2 Basic Rules of Dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

6.1.3 Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

6.1.3.1 Denition of Derivatives of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . 385

6.1.3.2 Derivatives of Higher Order of some Elementary Functions . . . . . 385

6.1.3.3 Leibniz's Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

6.1.3.4 Higher Derivatives of Functions Given in Parametric Form . . . . . 387

6.1.3.5 Derivatives of Higher Order of the Inverse Function . . . . . . . . . 387

6.1.4 Fundamental Theorems of Dierential Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.1.4.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.1.4.2 Fermat's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.1.4.3 Rolle's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.1.4.4 Mean Value Theorem of Dierential Calculus . . . . . . . . . . . . 389

6.1.4.5 Taylor's Theorem of Functions of One Variable . . . . . . . . . . . 389

6.1.4.6 Generalized Mean Value Theorem of Dierential Calculus (Cauchy's

Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.1.5 Determination of the Extreme Values and Inection Points . . . . . . . . . . 390

6.1.5.1 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.1.5.2 Necessary Conditions for the Existence of a Relative Extreme Value 390

6.1.5.3 Relative Extreme Values of a Dierentiable, Explicit Function . . . 391

6.1.5.4 Determination of Absolute Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

6.1.5.5 Determination of the Extrema of Implicit Functions . . . . . . . . 392

6.2 Dierentiation of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

6.2.1 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

6.2.1.1 Partial DerivativeofaFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

6.2.1.2 Geometrical Meaning for Functions of TwoVariables . . . . . . . . 393

6.2.1.3 Dierentials of

and

(

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

6.2.1.4 Basic Prop erties of the Dierential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

6.2.1.5 Partial Dierential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

6.2.2 Total Dierential and Dierentials of Higher Order . . . . . . . . . . . . . . 394

6.2.2.1 Notion of Total Dierential of a Function of Several Variables (Com-

plete Dierential) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

6.2.2.2 Derivatives and Dierentials of Higher Order . . . . . . . . . . . . 395

6.2.2.3 Taylor's Theorem for Functions of Several Variables . . . . . . . . 396

6.2.3 Rules of Dierentiation for Functions of Several Variables . . . . . . .

. . . 397

6.2.3.1 Dierentiation of Comp osite Functions . . . . . . . . . . . . . . . 397

6.2.3.2 Dierentiation of Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

Contents

6.2.4 Substitution of Variables in Dierential Expressions and Coordinate Transfor-

mations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

6.2.4.1 Function of One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

6.2.4.2 Function of TwoVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

6.2.5 Extreme Values of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . 401

6.2.5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

6.2.5.2 Geometric Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

6.2.5.3 Determination of Extreme Values of Functions of TwoVariables . . 402

6.2.5.4 Determination of the Extreme Values of a Function of

Variables . 402

6.2.5.5 Solution of Approximation Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 403

6.2.5.6 Extreme Value Problem with Side Conditions . . . . . . . . . . . . 403

7 Innite Series 404

7.1 Sequences of Numb ers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.1.1 Properties of Sequences of Numb ers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.1.1.1 Denition of Sequence of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.1.1.2 Monotone Sequences of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.1.1.3 Bounded Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.1.2 Limits of Sequences of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

7.2 Number Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

7.2.1 General Convergence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

7.2.1.1 Convergence and Divergence of Innite Series . . . . . . . . . . . . 406

7.2.1.2 General Theorems ab out the Convergence of Series . . . . . . . . . 406

7.2.2 Convergence Criteria for Series with PositiveTerms . . . . . . . . . . . . . . 407

7.2.2.1 Comparison Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

7.2.2.2 D'Alembert's Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

7.2.2.3 Root Test of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

7.2.2.4 Integral Test of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

7.2.3 Absolute and Conditional Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

7.2.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

7.2.3.2 Properties of Absolutely Convergent Series . . . . . . . . . . . . . 409

7.2.3.3 Alternating Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

7.2.4 Some Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

7.2.4.1 The Values of Some Imp ortant Numb er Series . . . . . . . . . . . 410

7.2.4.2 Bernoulli and Euler Numb ers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

7.2.5 Estimation of the Remainder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

7.2.5.1 Estimation with Ma jorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

7.2.5.2 Alternating Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.2.5.3 Special Series .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.3 Function Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.3.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.3.2.1 Denition, Weierstrass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.3.2.2 Properties of Uniformly Convergent Series . . . . . . . . . . . . . 415

7.3.3 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

7.3.3.1 Denition, Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

7.3.3.2 Calculations with Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

7.3.3.3 Taylor Series Expansion, Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . 417

7.3.4 Approximation Form

ulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

7.3.5 Asymptotic Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

7.3.5.1 Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

7.3.5.2 Asymptotic Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

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约瑟夫·拉格朗日

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