信号与系统深入解析：微分方程在控制系统中的应用

"该资源是一个关于‘信号与系统’的详细课件，涵盖了信号分析与系统建模的重要概念，如微分方程的建立与求解、零输入响应和零状态响应、冲激响应与阶跃响应、卷积以及其性质。此外，还介绍了用算子符号表示微分方程和冲激函数的概念。课件中通过实例解释了如何根据电路元件的约束特性（如基尔霍夫电流定律KCL）建立微分方程，例如在RLC并联电路中的应用。" 在信号与系统的学习中，微分方程扮演着至关重要的角色，它是描述连续时间系统动态行为的基本工具。在§2.2中，课件讲解了如何根据物理模型，如电路或机械系统，利用元件的特性（如电阻、电感、电容的电压-电流关系）和系统结构的约束（如基尔霍夫定律）来建立微分方程。例如，在RLC并联电路中，通过KCL可以得到一个二阶微分方程，该方程描述了端电压v(t)与激励源is(t)之间的关系。 系统响应的分析通常分为零输入响应(ZIR)和零状态响应(ZSR)。ZIR是指当系统在没有外部输入的情况下，仅由初始条件引起的响应，而ZSR是系统在初始状态为零，但受到外部输入后的响应。在§2.4和§2.5中，这些概念被用来理解系统的动态行为。 冲激响应和阶跃响应是分析线性时不变系统(LTI)的关键概念。冲激响应是系统对单位冲激函数的响应，而阶跃响应则是对单位阶跃函数的响应。这两者可以通过卷积运算与输入信号结合，得到系统的输出响应，这是时域分析的核心。在§2.6和§2.7中，卷积的计算方法及其性质被详尽阐述，卷积积分是连接时域和变换域分析的桥梁。 卷积不仅在求解微分方程中起到重要作用，还具有许多重要性质，如交换性、结合性和分配性，这些在§2.8中有所介绍。用算子符号表示微分方程是一种抽象的方法，它有助于简化系统的分析，尤其是在处理复杂的系统模型时。 在§2.9中，引入了“分配函数”的概念来理解冲激函数，这是信号分析中的基本工具，因为冲激函数在处理各种系统问题时具有独特的性质。 这个课件为学习者提供了一个全面的框架，用于理解和分析连续时间系统的信号处理和动态行为。通过实例和理论的结合，帮助学生掌握时域分析方法，为进一步学习傅里叶变换、拉普拉斯变换等变换域分析打下坚实基础。