2D-FRFT旋转不变性在图像水印中的增强应用
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更新于2024-07-15
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"该资源是一篇研究论文，探讨了2D分数傅立叶变换（2D-FRFT）中的旋转不变性，并将其应用于数字图像水印技术，旨在增强水印的鲁棒性和安全性。"
在图像处理、计算机视觉和模式识别等任务中，提取旋转不变的表示是非常重要的。2D分数傅立叶变换（2D-FRFT）是一种在特定条件下具有这种吸引人的性质的数学工具。本文通过数学分析和大量的计算机模拟，证明了2D-FRFT在某些情况下可以保持旋转不变性。
基于这一特性，作者提出了一种新颖的数字图像水印方法。该方法结合了2D chirp信号（一种具有可调频率斜率的复指数信号）与2D-FRFT的加性和旋转不变性属性。在2D-FRFT域内实现水印嵌入，旨在提高数字图像水印对各种攻击的抵抗力，如几何旋转、JPEG压缩、裁剪和中值滤波等常见的图像篡改操作。
实验结果证实，所提出的水印方法表现出极强的鲁棒性，能够在遭受多种水印攻击后仍能有效地恢复和验证水印信息。这种方法的创新之处在于利用2D-FRFT的旋转不变性来增强水印的安全性，使其不易被篡改或去除，从而为数字版权保护提供了有力的技术支持。
这篇论文为数字图像水印技术提供了一个新的视角，通过2D-FRFT的特性增强了水印的稳健性，对于图像安全领域具有重要的理论和实践意义。
transformation is replaced by applying a translation invari-
ant operator in the new coordinate system [21]. According
to the definition of the polar coordinate, f (x,y) can be
expressed as f(r,θ), where r and θ are polar radius and polar
angle, respectively. It satisfies the following equation:
x ¼ r cos θ; y ¼ r sin θ r 2 0; þ1½Þ ð16Þ
We define the polar radius as ρ and polar angle as φ in
2D-FRFT domain. It can obtain the following relationship:
u ¼ ρ cos
8
; v ¼ ρ sin
8
ð17Þ
The polar coordinate in 2D-FRFT can be written as:
F
a;a
ρ;
8
ðÞ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 j cot a
2p
r
!
2
Z
þ1
0
Z
2p
0
exp j
r
2
þ ρ
2
2
cot a j csc a r ρ co s θ
8
ðÞ
fr; θðÞrdrd θ
ð18Þ
Letting K
2
a
¼ 1 j cot aðÞ2p
=
, Eq. (18) can be further
simplified as:
F
a;a
ρ;
8
ðÞ¼K
2
a
Z
þ1
0
Z
2p
0
exp j
r
2
þ ρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
8
ðÞ
fr; θðÞrdrdθ
ð19Þ
Assume there is a small variation Δθ in the polar coor-
dinate of f(r,θ), and then it can be written:
fr; θ
0
¼ fr; θ þ ΔθðÞθ
0
¼ θ þ Δθ
ð20Þ
Since both f(r,θ) and cosine functions are continuous
in equation, the 2D-FRFT to f(r,θ′) can be approximated
as:
F
a;a
ρ;
8
0
K
2
a
R
þ1
0
R
2p
0
exp j
r
2
þρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
8
ðÞ
fr; θ þ ΔθðÞrdrdθ
¼ K
2
a
R
þ1
0
R
2p
0
exp j
r
2
þρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
8
ðÞ
f ðr; θ
0
Þrdrdθ
¼ K
2
a
R
þ1
0
R
2p
0
exp j
r
2
þρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
0
Δθ
8
fr; θ
0
rdrd θ
0
Δθ
¼ K
2
a
R
þ1
0
R
2pþΔθ
Δθ
exp j
r
2
þρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
0
Δθ
8
fr; θ
0
rdrdθ
0
ð21Þ
Equation (21) can be further written to:
F
a;a
ρ;
8
0
¼ K
2
a
R
þ1
0
R
2p
0
exp j
r
2
þρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
0
Δθ
8
fr; θ
0
rdrdθ
0
¼ K
2
a
R
þ1
0
R
2p
0
exp j
r
2
þρ
2
2
cot a j csc a r ρ cos θ
0
Δθ þ
8
ðÞ
hi
fr; θ
0
rdrdθ
0
¼ F
a;a
ρ;
8
þ ΔθðÞθ
0
¼ θ þ Δθ
ð22Þ
That is to say, if it satisfies the following equation
F
a;a
fr; θðÞðÞ¼F
a;a
ρ;
8
ðÞ ð23Þ
Then, we have:
F
a;a
fr; θ þ ΔθðÞðÞ¼F
a;a
ρ;
8
þ ΔθðÞ ð24Þ
Based on Eqs. (23) and (24), it shows clearly that the 2D-
FRFT to a 2D signal satisfies the property of rotation
invariance. As the two dimensional discrete FRFT is just
the discrete form of 2D-FRFT, it has the same property.
3.2 Validation of Rotation Invariance in 2D-FRFT
by Computer Simulation
In this section, we present a number of computer simulations
to experimentally confirm the rotation invariance property of
136 J Sign Process Syst (2013) 72:133–148
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