Gauss噪声下FitzHugh-Nagumo系统随机稳定性的探究及不变测度分析

本文主要探讨了Gauss噪声对FitzHugh-Nagumo系统（FHN系统）的随机稳定性。FitzHugh-Nagumo系统是一种经典的生物物理模型，用于模拟神经元的兴奋性行为，尤其在信号传导过程中表现得尤为重要。在确定系统的基础上，引入Gauss噪声后，系统的行为变得随机化，这涉及到动力系统理论中的一个重要课题——随机稳定性。 随机稳定性关注的是随机系统在噪声影响下，其动力学行为是否仍保持某种程度的稳定性和收敛性。与微分方程的随机稳定性有所区别，这里的重点在于研究噪声如何影响系统的长期行为，即是否存在某种不变测度，当噪声强度减弱时，这些不变测度是否会趋近于确定系统的稳定状态。 文章首先定义了随机FitzHugh-Nagumo系统，其一般形式为两个偏微分方程，其中包含了电信号传递的关键变量u和v，以及噪声项dW_t。在噪声存在的情况下，系统不再是确定性的，而是随机过程。文献[12]的工作已经探讨了这类随机系统的解的存在性，特别是在初始条件为随机过程的情况下。 研究的核心目标是证明在Gauss噪声的扰动下，随机FitzHugh-Nagumo系统存在唯一的、具有指数混合速度的不变测度。这个不变测度反映了系统在随机扰动下的长期统计行为，它的重要性在于揭示了系统在噪声影响下的稳定分布。 进一步，作者还关注了当噪声强度趋于零时，不变测度的渐近行为。这不仅有助于理解噪声消失时系统如何恢复到确定性行为，而且对于实际应用，如神经网络模型，了解噪声对信号传输精度的影响至关重要。 这篇论文深入分析了Gauss噪声对FitzHugh-Nagumo系统动态特性的随机稳定性，这对于理解和控制复杂系统在不确定性环境下的行为具有理论和实践意义。它扩展了随机动力系统理论的应用范围，为神经科学、生理学和工程领域提供了有价值的数学工具和理论支持。