经典优化算法实现：最速下降法与牛顿法MATLAB代码

"该资源包含了优化方法的作业实践，包括最速下降法、牛顿法以及BFGS方法的Matlab实现，同时附有运行结果的截图，旨在帮助学习者理解并掌握这些经典优化算法。" 在优化领域，最速下降法、牛顿法和BFGS方法是非常重要的优化算法，常用于寻找函数的最小值。这些方法在机器学习、数据分析和工程问题求解中广泛应用。 1、最速下降法（Steepest Descent Method） 最速下降法是一种迭代算法，它沿着当前梯度方向寻找函数的最小值。在给定的代码中，函数`steepest`实现了这一方法。它首先计算目标函数的梯度`gk`，然后在每一步迭代中，通过调整步长`ak`，使得函数值下降最多。如果在设定的最大迭代次数或残差小于预设阈值`eps`时，迭代停止，返回当前解`x_star`。函数`fun`和`grad`分别用于计算目标函数值和梯度。 2、牛顿法（Newton's Method） 牛顿法是基于二阶导数的优化算法，它利用目标函数的梯度和海森矩阵（Hessian矩阵）来更新解。在代码中，函数`newton`实现了牛顿法。除了梯度`gk`，它还需要计算海森矩阵`Gk`，然后通过求解线性系统`Gk * dk = -gk`来确定搜索方向。与最速下降法类似，牛顿法也通过调整步长和迭代次数来找到最小值。同样，`fun`和`grad`函数用于提供必要的函数值和梯度信息。 3、BFGS方法 BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法是一种拟牛顿法，它不需要计算海森矩阵，而是通过近似海森矩阵的逆来更新搜索方向。尽管代码中没有直接给出BFGS的实现，但通常BFGS算法会结合梯度信息和前几次迭代的历史信息来构建一个近似的逆海森矩阵，从而实现快速收敛。 这些优化方法各有优缺点：最速下降法简单但可能收敛较慢；牛顿法通常收敛更快，但需要计算海森矩阵，对计算资源要求较高；而BFGS则在速度和计算需求之间取得平衡，尤其适用于大型优化问题。 了解并掌握这些优化算法对于解决实际问题至关重要，因为它们不仅有助于找到函数的局部最优解，而且在处理非线性优化问题时非常有效。在实际应用中，可能会根据问题的特性选择合适的优化方法，或者结合其他策略如线性搜索、动态调整步长等来提高算法性能。