概率算法与随机变量分析：切比雪夫不等式应用

该资源是一份关于算法设计的作业，主要涵盖了概率算法和数值积分的计算。题目包括P20.EX1、P23.EX2和P23.EX3。 在P20.EX1中，问题涉及到计算第一象限内点落在直线y=x上的概率。这是一个经典的几何概率问题，可以通过蒙特卡洛方法解决。在这个问题中，我们随机生成点(x, y)，如果点满足y = x（即它位于直线y=x上），则计数器k增加。通过比较落在直线上的点与总点数的比例，我们可以估算出该直线在单位圆的第一象限部分与正方形对角线长度的比例，这个比例等于π/4。因此，算法估计了π的值，即4 * k / n 近似于 π。 P23.EX2是一个用Java编写的程序，用于估算圆周率π。这里使用了一个类似的方法，但针对的是圆面积的计算。在每个迭代中，程序生成n个随机点，并检查它们是否在单位圆内（通过判断y是否小于√(1 - x²)）。如果点在圆内，k增加。这个比率k/n近似于圆面积π/4与正方形面积1的比值，因此算法输出的n + 4.0 * k / n 是π的近似值。 P23.EX3则涉及到数值积分的问题，使用了随机数来近似求解函数在特定区间[a, b]上的定积分。这里定义了一个函数myFunction(float x)来表示被积函数，然后调用了intergral函数，该函数接受区间[a, b]以及myFunction的指针作为参数。在C++程序中，用户需输入a和b的值，程序会根据这些值计算积分。为了提高精度，程序使用了不同大小的n（例如10000到1000000000）进行多次实验。这种方法叫做辛普森法则或者随机化辛普森法则，通过随机采样函数值并使用特定公式来逼近真实积分值。 这份作业展示了概率算法在解决几何概率和数值积分问题中的应用，利用随机数生成和统计方法来逼近难以直接计算的结果。通过不断增大样本数量，可以得到更精确的估计值。在实际编程实现时，注意循环和条件语句的使用，以及输入输出的处理。