电子科技大学数值分析习题详解及误差分析

电子科技大学的数值分析参考答案包含了多个习题解答，这些习题涉及数值计算中的关键概念和技巧。以下是部分知识点的详细解析： 1. 相对误差与对数函数： - 题目要求计算lnx的误差，当x的相对误差限为δ时，我们利用导数的定义和泰勒公式来估算误差。lnx的误差e(lnx)可以通过求|x–x*|乘以lnx在x附近某点ξ的导数的绝对值来估计，即e(lnx) ≈ (|x–x*|/|x*|)×|(lnx)’|，其中(x–x*)表示x的误差。另一种方法是利用对数的性质，将ln(x/x*)转换为ln((x–x*)/x*+1)，同样控制在δ范围内。 2. 绝对误差限的计算： - 绝对误差限是近似值与真实值之间的最大偏差。例如，x=–2.18和y=2.1200的近似值，通过比较四舍五入后的绝对误差，可以确定ε(x)和ε(y)分别为0.005和0.00005。 3. 有效数字判断： - 近似值的有效数字与其绝对误差限的关系是，如果误差限小于末位数的半个单位，则该位数被认为是有效的。例如，x1=1.38有三位有效数字，x2=–0.0312有一位有效数字，而x3=0.00086则没有有效数字。 4. 相对误差限与有效数字： - 对于具有两位有效数字的近似数x，其相对误差限通常设定为一个较小的百分比，如|er(x)|≤5×10^(-2)，这意味着允许的最大误差相对于x本身的比例不大于0.05。 5. 数值计算的误差累积： - 在递推公式计算中，误差会随着迭代次数的增加而累积。如在y100的计算中，初始误差来自初始值y0和近似系数的差距，最终误差界可通过累加式计算得出，e(Y100) = δ × (1 – 10^(-5))^(100-1)。 6. 方程求解与有效数字精度： - 最后一个问题涉及到方程的根，要确保根具有四位有效数字，意味着在计算过程中需要精确到小数点后四位，这可能需要采用高精度算法或者适当调整计算精度。 这份参考答案提供了数值分析中的误差分析、有效数字处理、递推计算误差估计等核心概念的实例和练习，帮助学生理解和掌握数值分析中的基本技巧和精度控制。