二维正态分布与条件期望解析

"第十九次课PPT1" 本课主要探讨了条件分布和条件期望的概念，特别是与二维正态分布、协方差矩阵以及随机向量的性质相关的知识。首先，回顾了上一节课的内容，其中包括相关系数的计算，它是衡量两个随机变量XY之间线性相关程度的指标，其值范围在-1到1之间。如果两个随机变量是独立的，那么它们的相关系数为0，而如果相关系数等于1或-1，则表明它们之间存在完全的正相关或负相关关系。 二维正态分布是随机变量XY同时服从正态分布的情况，其概率密度函数形式为: $$ (X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho) $$ 其中，$\mu_1$ 和 $\mu_2$ 是随机变量 $X$ 和 $Y$ 的均值，$\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 分别是它们的方差，$\rho$ 是相关系数，表示了 $X$ 和 $Y$ 的相关性。当 $\rho=0$ 时，$X$ 和 $Y$ 独立；当 $\rho>0$ 或 $\rho<0$ 时，它们具有正相关或负相关性。 随机向量的协方差矩阵是描述多个随机变量相互关联性的工具，它是一个对称且半正定的矩阵。如果协方差矩阵的所有特征值都是非负的，这表明随机向量是正态分布的。 条件分布是研究在已知一个随机变量的值的情况下，另一个随机变量的概率分布。对于离散型随机变量，条件分布可以通过条件概率来定义。如果二维离散型随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布已知，那么在 $Y=y_j$ 的条件下，$X$ 的条件分布可以通过以下方式得到： $$ P(X=x_i|Y=y_j) = \frac{P(X=x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)} $$ 对于连续型随机变量，条件概率密度函数可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算： $$ f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} $$ 条件分布函数是连续随机变量的条件概率的一种度量，可以通过极限过程来定义： $$ F_{X|Y}(x|y) = P(X \leq x | Y = y) = \lim_{{\epsilon \to 0^+}} \frac{P(X \leq x, Y \leq y+\epsilon)}{P(Y \leq y+\epsilon)} $$ 此外，还介绍了乘法公式，它描述了两个随机变量的联合概率密度函数如何通过它们各自的概率密度函数和条件概率密度函数来表达： $$ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_{Y|X}(y|x) \quad \text{(if } f_X(x) > 0) $$ $$ f_{X,Y}(x,y) = f_Y(y) f_{X|Y}(x|y) \quad \text{(if } f_Y(y) > 0) $$ 这个公式在处理随机变量的联合分布时非常有用，特别是当考虑条件独立性时，即 $f_{Y|X}(y|x) = f_Y(y)$ 表示 $X$ 和 $Y$ 在给定 $X$ 的值下是独立的。 最后，举例说明了如何应用这些概念来分析二维随机变量的问题，这可能涉及到求解条件概率密度函数、条件分布函数，以及在特定条件下对随机变量进行预测或决策。通过深入理解和掌握这些知识，我们可以更有效地处理多元统计问题和随机过程中的相关性分析。